Notación científica

Escriba en notación científica los siguientes números, ajustando la mantisa para que esté comprendida entre $1$ y $10$:

1. a) $0,000000456$
2. b) $34500000000$
3. c) $0,0023 \cdot 10^5$
4. d) $456 \cdot 10^{-4}$

Justifique si las siguientes expresiones están correctamente escritas en notación científica estandarizada. En caso negativo, corríjalas para que la mantisa $N$ cumpla $1 \le |N| < 10$:

1. a) $12,4 \cdot 10^3$
2. b) $0,85 \cdot 10^{-2}$
3. c) $1 \cdot 10^6$
4. d) $-45,2 \cdot 10^{-8}$

El diámetro de un glóbulo rojo humano es de aproximadamente $0,0075$ mm. Exprese esta cantidad en metros utilizando la notación científica.

La fortuna estimada de una de las personas más ricas del sector tecnológico asciende a $\$185000$ millones. Escriba esta cifra en notación científica.

Indique el orden de magnitud y el número de cifras significativas de las siguientes medidas experimentales:

1. a) $4,05 \cdot 10^8$ m
2. b) $1,200 \cdot 10^{-5}$ kg
3. c) $9 \cdot 10^{12}$ s

Redondee los siguientes números para que tengan exactamente tres cifras significativas y, a continuación, expréselos en notación científica:

1. a) $4567892$
2. b) $0,00034091$
3. c) $98,99$

Ordene de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a notación científica normalizada y comparando sus órdenes de magnitud:

$A = 0,0045 \cdot 10^{-3}$

$B = 450 \cdot 10^{-8}$

$C = 0,45 \cdot 10^{-5}$

$D = 45000 \cdot 10^{-11}$

Realice las siguientes multiplicaciones y divisiones mentalmente (sin uso de calculadora), aplicando las propiedades de las potencias, y exprese el resultado en notación científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $\frac{8 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-7}}$
3. c) $(1,5 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^{-2})$

La masa de la Tierra es de aproximadamente $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la del planeta Júpiter es de $1,90 \cdot 10^{27}$ kg. ¿Cuántas veces es más masivo Júpiter que la Tierra? Exprese el resultado en notación científica y también en formato decimal estándar.

Efectúe las siguientes sumas y restas de números en notación científica que tienen el mismo exponente. Extraiga factor común y dé el resultado final:

1. a) $3,2 \cdot 10^5 + 4,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 3,2 \cdot 10^{-4}$
3. c) $5,15 \cdot 10^{12} + 2,03 \cdot 10^{12}$

Efectúe las siguientes sumas y restas ajustando previamente los exponentes para poder extraer factor común. Exprese el resultado final en notación científica:

1. a) $4,5 \cdot 10^7 + 3,8 \cdot 10^8$
2. b) $9,2 \cdot 10^{-5} - 6,1 \cdot 10^{-6}$

Realice la siguiente operación combinada y exprese el resultado final en notación científica, redondeando a tres cifras significativas:

$\frac{(2,5 \cdot 10^6) \cdot (4,2 \cdot 10^{-3})}{3,1 \cdot 10^{-4} + 1,9 \cdot 10^{-5}}$

Un disco duro de servidor tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ TB (Terabytes). Sabiendo que $1\text{ TB} = 1024\text{ GB}$, $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$, $1\text{ MB} = 1024\text{ KB}$ y $1\text{ KB} = 1024\text{ B}$ (Bytes). Calcule cuántos bytes exactos puede almacenar el disco duro y exprese el resultado en notación científica.

Dadas las magnitudes físicas $A = 3,2 \cdot 10^5$ y $B = 5,1 \cdot 10^{-4}$, calcule el valor de la expresión algebraica $\frac{A^3}{\sqrt{B}}$. Exprese el resultado final en notación científica con tres cifras significativas e indique claramente cuál es su orden de magnitud.

La velocidad de la luz en el vacío es de aproximadamente $3 \cdot 10^5$ km/s. Un "año luz" es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un año terrestre ($365,25$ días). Calcule a cuántos kilómetros equivale un año luz y exprese el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.

Sabiendo que $18$ gramos de agua contienen $6,022 \cdot 10^{23}$ moléculas (número de Avogadro), calcule la masa en gramos de una única molécula de agua. Dé el resultado en notación científica con cuatro cifras significativas.

El volumen total de agua de todos los océanos de la Tierra se estima en $1,332 \cdot 10^9\text{ km}^3$. Si suponemos que una gota de agua estándar tiene un volumen promedio de $0,05$ ml, determine el número total de gotas de agua que hay en los océanos. Exprese el resultado en notación científica. (Recuerde que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$).

Al medir la distancia entre dos ciudades mediante un sistema GPS se obtiene un valor real de $456321$ m. Un mapa turístico aproxima esta distancia dando un valor de $4,56 \cdot 10^5$ m. Calcule el error absoluto y el error relativo cometidos al usar la aproximación del mapa. Exprese ambos errores en notación científica.

Se ha medido la arista de un cubo perfecto con un instrumento de precisión y se sabe que su longitud está comprendida en el intervalo $[1,25 \cdot 10^{-2}, 1,26 \cdot 10^{-2}]$ m. Determine el intervalo en el que se encuentra el volumen del cubo expresado en $\text{mm}^3$, dando los extremos en notación científica. Calcule la cota de error absoluto si tomamos como volumen estimado el punto medio de dicho intervalo.

Un algoritmo de cifrado de máxima seguridad utiliza claves de $256$ bits, lo que significa que el número total de claves posibles es $2^{256}$. Utilizando las propiedades de los logaritmos decimales y sabiendo que $\log_{10} 2 \approx 0,30103$, exprese el número total de combinaciones en notación científica estándar $N \cdot 10^n$, donde $1 \le N < 10$.

La energía liberada por un terremoto se relaciona empíricamente con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la fórmula $\log_{10} E = 11,8 + 1,5M$, donde $E$ se mide en ergios. Calcule la energía liberada por un terremoto de magnitud $7,5$ y por otro de magnitud $8,5$. ¿Cuántas veces es mayor la energía del segundo respecto al primero? Exprese los resultados de energía en notación científica.

Una muestra de material radiactivo utilizada en la datación de fósiles contiene inicialmente $N_0 = 4,5 \cdot 10^{20}$ núcleos. La cantidad de núcleos decae exponencialmente según la ley $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-4}\text{ años}^{-1}$. Calcule el número de núcleos que quedarán sin desintegrar al cabo de $5000$ años. Exprese el resultado final en notación científica con dos cifras significativas.

La ley de gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Sabiendo que la constante $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^5$ km. Calcule la fuerza de atracción $F$ en Newtons, utilizando notación científica en todos los cálculos intermedios.

El Producto Interno Bruto (PIB) mundial en un año determinado fue de aproximadamente $\$8,5 \cdot 10^{13}$. Si la población mundial en ese momento era de $7,8 \cdot 10^9$ habitantes, calcule el PIB per cápita medio. Si se proyecta que la población crecerá un $1,2\%$ anual y el PIB crecerá un $2,5\%$ anual, estime el PIB per cápita al cabo de $10$ años. Exprese todos los resultados en notación científica.