La ley de cosenos
En las Grandes Ligas de béisbol, el plato está a 90 ft de la primera base, y la goma del pitcher está a 60.5 ft del plato, sobre la línea hacia la segunda base. ¿A qué distancia está el pitcher de la primera base? En ese triángulo no hay ángulo recto, así que el teorema de Pitágoras no sirve. La ley de senos tampoco, porque no conoces ningún lado junto con su ángulo opuesto. Necesitas una herramienta nueva: la ley de cosenos.
La ley de cosenos
La ley de cosenos funciona en cualquier triángulo. Es el teorema de Pitágoras con un término de corrección para los ángulos que no miden $90^\circ$.
Rotula el triángulo de la forma estándar: el lado $a$ es opuesto al ángulo $A$, el lado $b$ es opuesto al ángulo $B$ y el lado $c$ es opuesto al ángulo $C$.
Si $C = 90^\circ$, entonces $\cos C = 0$ y la fórmula queda $c^2 = a^2 + b^2$, el teorema de Pitágoras. Para cualquier otro ángulo, el término $-2ab\cos C$ ajusta el resultado:
-
Si $C$ es agudo, $\cos C > 0$, así que $c^2 < a^2 + b^2$.
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Si $C$ es obtuso, $\cos C < 0$, así que $c^2 > a^2 + b^2$.
Para obtener respuestas exactas necesitas los cosenos de los ángulos especiales:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac12$ | $0$ | $-\frac12$ | $-\frac{\sqrt2}{2}$ | $-\frac{\sqrt3}{2}$ |
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ pulgadas, $b=12$ pulgadas y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ pulgadas, $b=12$ pulgadas y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 pulgadas cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 pulgadas cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
Hallar un lado: dos lados y el ángulo comprendido
Cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), sustituye en la fórmula y saca una raíz cuadrada. Ahora podemos responder la pregunta del béisbol.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ pulgadas, $c=8$ pulgadas y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ pulgadas, $c=8$ pulgadas y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 pulgadas y 6 pulgadas. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal…
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 pulgadas y 6 pulgadas. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ pies y $CB = 20$…
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ pies y $CB = 20$ pies, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Hallar un ángulo: tres lados
Si conoces los tres lados (LLL), despeja de la ley el coseno del ángulo que quieres.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ pulgadas, $b=5$ pulgadas y $c=7$ pulgadas. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ pulgadas, $b=5$ pulgadas y $c=7$ pulgadas. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 pulgadas, 5 pulgadas y 6 pulgadas.
Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 pulgadas, 5 pulgadas y 6 pulgadas.
Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 pies, 7 pies y 9 pies. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo.
Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 pies, 7 pies y 9 pies. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo.
Distancias, rumbos y fuerzas
La ley de cosenos es la herramienta cuando puedes medir dos distancias y el ángulo entre ellas, pero no la distancia que necesitas.
Rumbos
En navegación, un rumbo (bearing) es un ángulo medido en sentido horario desde el norte, que suele escribirse con tres dígitos. Un rumbo de $040^\circ$ apunta $40^\circ$ al este del norte. Un rumbo de $115^\circ$ apunta un poco al sur del este.
El ángulo entre las dos trayectorias es la diferencia de los rumbos: $115^\circ - 40^\circ = 75^\circ$. Ese es el ángulo comprendido en la ley de cosenos.
Fuerzas
Dos fuerzas que tiran del mismo punto forman un paralelogramo. La resultante es la diagonal. El ángulo $\theta$ entre las fuerzas se mide en el punto donde actúan. El triángulo que usas, con las fuerzas colocadas una a continuación de la otra (cabeza con cola), tiene un ángulo interior de $180^\circ - \theta$.
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ pies y $CB = 180,2$ pies,…
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ pies y $CB = 180,2$ pies, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ mph con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ mph con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ mph con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ mph con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
Paralelogramos y cuerdas
Muchos problemas de geometría esconden un triángulo con dos lados conocidos y un ángulo comprendido. Tu trabajo es encontrarlo.
Paralelogramo a partir de sus diagonales
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Si las diagonales se cortan en $O$, cada lado del paralelogramo es el tercer lado de un triángulo cuyos otros lados son semidiagonales. Algunos problemas llaman romboide a un paralelogramo con lados adyacentes desiguales.
Los dos triángulos que tocan un lado dado usan ángulos que suman $180^\circ$ en $O$. Así que las dos longitudes distintas de los lados salen de $\theta$ y $180^\circ - \theta$.
Cuerdas
Una cuerda que abarca un ángulo central $\theta$ en un círculo de radio $r$ es la base de un triángulo isósceles con dos lados iguales a $r$. La ley de cosenos da $c^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\theta = 2r^2(1 - \cos\theta)$.
La cuerda común de dos círculos
Cuando dos círculos se cortan en los puntos $P$ y $Q$, el segmento $PQ$ es la cuerda común. Sus dos extremos están a la misma distancia de cada centro, así que la línea de los centros es la mediatriz (mediatriz) de $PQ$. En el triángulo formado por los dos centros y $P$, la altura sobre la línea de los centros es la mitad de la cuerda.
Las diagonales de un romboide miden 12 pulgadas y 16 pulgadas, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
Las diagonales de un romboide miden 12 pulgadas y 16 pulgadas, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
En una circunferencia de 10 pulgadas de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno…
En una circunferencia de 10 pulgadas de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.
Dos circunferencias de radios 5 pulgadas y 8 pulgadas se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 pulgadas. Calcula la longitud de la cuerda común a…
Dos circunferencias de radios 5 pulgadas y 8 pulgadas se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 pulgadas. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).
Medianas, cuadriláteros cíclicos y cubos
La estrategia para los problemas más difíciles es aplicar la ley de cosenos dos veces: una para hallar un ángulo y otra en un triángulo distinto que comparte ese ángulo (o su suplemento).
Medianas
Una mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Para hallar una mediana, halla un ángulo en un extremo de ese lado y úsalo en el triángulo más pequeño.
Cuadriláteros cíclicos
Un cuadrilátero inscrito en un círculo se llama cíclico. Sus ángulos opuestos son suplementarios: $B + D = 180^\circ$. Así que $\cos D = -\cos B$. Corta el cuadrilátero con una diagonal; la diagonal es un lado en dos triángulos, uno que contiene a $B$ y otro que contiene a $D$. Escribe la ley de cosenos para la diagonal en ambos triángulos e iguálalas.
Diagonales espaciales de un cubo
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ pulgadas, $b=10$ pulgadas y $c=12$ pulgadas. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ pulgadas, $b=10$ pulgadas y $c=12$ pulgadas. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ pulgadas, $BC=4$ pulgadas, $CD=5$ pulgadas y $DA=6$ pulgadas. Teniendo en cuenta las…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ pulgadas, $BC=4$ pulgadas, $CD=5$ pulgadas y $DA=6$ pulgadas. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema…
Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.
Ecuaciones y demostraciones
A veces la incógnita no es un número sino una variable en las longitudes de los lados, o necesitas mostrar que una relación se cumple en todos los triángulos. La ley de cosenos convierte la geometría en álgebra.
Los rótulos del triángulo son arbitrarios, así que el mismo argumento sirve para cada lado. Al renombrar los vértices obtienes dos identidades más, una para cada uno de los otros lados:
$$a = b\cos C + c\cos B \qquad\text{y}\qquad b = c\cos A + a\cos C.$$Puedes combinar las tres para demostrar identidades sobre la suma de los cuadrados de los lados.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
Demuestra algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación: $a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$
Demuestra algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación:
$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ pulgadas y un perímetro constante $p = 26$ pulgadas. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de…
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ pulgadas y un perímetro constante $p = 26$ pulgadas. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.