Límites de sucesiones
Sirves chocolate caliente a $160$ °F en una taza, en una cocina a $70$ °F. Minuto a minuto se enfría, pero nunca llega del todo a $70$ °F. ¿Qué significa decir que la temperatura "se acerca" a $70$ °F para siempre? Esa idea es el límite de una sucesión, y es la base del cálculo.
Qué significa un límite
Mira $a_n = \dfrac{n+1}{n}$: $2,\ 1.5,\ 1.333\ldots,\ 1.25,\ 1.2,\ \ldots$ Los términos se acercan cada vez más a $1$, aunque ninguno es igual a $1$.
Cambia la fórmula y observa dónde se estabilizan las barras al crecer $n$:
Los tres comportamientos posibles
No toda sucesión se estabiliza. Cuando $n\to\infty$ hay tres posibilidades.
Algunos libros dicen simplemente "diverge" en los dos últimos casos. Aquí los separamos para que puedas describir con exactitud lo que ocurre.
Esta es la caja de herramientas que usaremos en toda la página.
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente u oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
Determina si la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ es convergente, divergente u oscilante. Si es convergente, indica cuál es su límite.
Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito: $b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
Calcula el límite de la siguiente sucesión polinómica cuando $n$ tiende a infinito:
$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$
La definición formal (ε y N)
"Tan cerca como quieras" se puede hacer exacto. Elige cualquier tolerancia $\varepsilon>0$, por pequeña que sea. Los términos deben entrar en la banda de $L-\varepsilon$ a $L+\varepsilon$ y quedarse ahí.
Más allá de cierta posición $N$ (que depende de lo exigente que sea $\varepsilon$), todos los términos siguientes están dentro de la banda y nunca la abandonan.
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se…
Dada la sucesión $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, sabemos que su límite es $L = 4$. Utilizando la definición formal de límite, averigua a partir de qué término $n$ se cumple que la distancia entre los términos de la sucesión y su límite es estrictamente menor que una milésima, es decir, $|a_n - 4| < 0.001$.
Sucesiones racionales
El caso más común es una fracción de polinomios en $n$. El resultado depende de comparar los grados del numerador y del denominador.
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión: $c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Halla el límite de la sucesión racional dada por la expresión:
$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador: $d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, identificando previamente los grados del numerador y del denominador:
$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$
Determina el valor hacia el que tiende la sucesión $e_n$ para valores muy grandes de $n$: $e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$
Determina el valor hacia el que tiende la sucesión $e_n$ para valores muy grandes de $n$:
$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$
Simplifica primero: combinar y desarrollar
A veces la expresión no parece una sola fracción. Por ejemplo, $\dfrac{n^2+3n}{n+1}-n$ es de la forma "$\infty-\infty$", que no tiene respuesta automática. Haz primero el álgebra: combina fracciones, desarrolla paréntesis y cancela. Luego compara grados.
Una población de bacterias cultivada en un laboratorio crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días…
Una población de bacterias cultivada en un laboratorio crece de acuerdo con el modelo matemático $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, donde $n$ representa el número de días desde el inicio del cultivo. Determina la capacidad de carga del entorno, es decir, el límite de la población de bacterias a largo plazo.
Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:…
Halla el límite de la siguiente sucesión, desarrollando previamente los productos notables del numerador para identificar los términos de mayor grado:
$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$
Resuelve la indeterminación que se presenta al calcular el límite de la siguiente diferencia de sucesiones racionales:…
Resuelve la indeterminación que se presenta al calcular el límite de la siguiente diferencia de sucesiones racionales:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$
Sucesiones con radicales
Hay dos situaciones. En un cociente con raíz, divide entre la mayor potencia de $n$ y usa $\sqrt{n^2}=n$ (válido porque $n>0$). En una diferencia de raíces ($\infty-\infty$), multiplica y divide por el conjugado, igual que hacías al racionalizar denominadores.
Si la diferencia se multiplica por $n$, como en $n\left(\sqrt{n^2+a}-n\right)$, el paso del conjugado sigue siendo lo primero. Luego simplificas y comparas grados.
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador: $h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la sucesión que involucra una raíz cuadrada simple en el numerador:
$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión irracional, multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada para resolver la indeterminación:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:…
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una doble raíz cuadrada y requiere aplicar la técnica del conjugado de forma cuidadosa:
$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$
Al revés: hallar parámetros
A veces te dan el límite y debes hallar un coeficiente desconocido. La idea: el límite solo es finito si los términos líderes se cancelan perfectamente, y eso fija un parámetro. Luego el conjugado da el otro.
Los mismos pasos funcionan para cualquier coeficiente líder. Supón que la raíz es $\sqrt{c^2n^2+an+k}$ con $c>0$. Entonces la raíz se comporta como $cn$, así que necesitas $b=c$. El conjugado da $\dfrac{an+k}{\sqrt{c^2n^2+an+k}+cn}\to\dfrac{a}{2c}$.
Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:…
Encuentra los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que se cumpla la siguiente igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$
Sucesiones geométricas y exponenciales
Una sucesión geométrica tiene la forma $a_n=a\cdot r^n$. Lo que ocurre depende solo de la razón común $r$.
Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial: $f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$
Estudia el comportamiento y calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial:
$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$
La temperatura en grados Fahrenheit de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0.82)^n$, donde $n$ es el tiempo…
La temperatura en grados Fahrenheit de una pieza de metal que se enfría en una habitación sigue la sucesión $T_n = 22 + 85 \cdot (0.82)^n$, donde $n$ es el tiempo transcurrido en minutos. Calcula el límite de la sucesión $T_n$ cuando $n \to \infty$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.
Series geométricas: sumar infinitos términos
Suma los términos de una sucesión geométrica de razón $r$: $a+ar+ar^2+\cdots$. La suma parcial después de $n$ términos es
$$S_n=\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a\cdot\frac{1-r^n}{1-r}\qquad(r\ne1).$$Si $|r|<1$, entonces $r^n\to0$, así que las sumas parciales convergen.
Muchos problemas suman una cantidad inicial fija a una serie. Entonces el total después de $n$ pasos es $L_n=c+\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}$, y su límite es $c+\dfrac{a}{1-r}$.
Las figuras también pueden esconder series geométricas. Toma un cuadrado de lado $6$ (área $36$), une los puntos medios de sus lados para formar un cuadrado nuevo y repite. La figura muestra los cuatro primeros cuadrados; cada número, unido con una línea a un punto del borde de un cuadrado, es el área de ese cuadrado completo.
Cada cuadrado nuevo tiene la mitad del área del anterior. Las áreas forman una sucesión geométrica con $a=36$ y $r=\frac12$, así que el área total es $\dfrac{36}{1-\frac12}=72$.
Un cable elástico de alta tecnología se somete a pruebas de tensión iterativas. Su longitud inicial en reposo es de $20$ pies. En la primera prueba se estira $4$ pies.…
Un cable elástico de alta tecnología se somete a pruebas de tensión iterativas. Su longitud inicial en reposo es de $20$ pies. En la primera prueba se estira $4$ pies. En cada prueba sucesiva, el material pierde elasticidad y se estira un $75\%$ de lo que se estiró en la prueba inmediatamente anterior. La longitud total tras $n$ pruebas viene dada por $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0.75)^{k-1}$. Calcula la longitud máxima teórica que alcanzará el cable si se somete a infinitas pruebas.
A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como…
A partir de un cuadrado de área $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, se construye una sucesión de cuadrados uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior, tal y como muestra la figura. Sabiendo que el área de cada nuevo cuadrado es la mitad del área del cuadrado anterior, calcula el límite de la suma de las áreas de los infinitos cuadrados así construidos: $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.
La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ pie (panel A), en cada…
La figura muestra las tres primeras iteraciones en la construcción de la curva de Koch. Si partimos de un segmento inicial de longitud $L_0 = 1$ pie (panel A), en cada paso $n$ la longitud total de la curva se multiplica por $\frac{4}{3}$ respecto al paso anterior. Escribe la expresión de la longitud $L_n$ en el paso $n$ y calcula $\lim_{n \to \infty} L_n$. ¿Qué conclusión geométrica se extrae de este resultado?
Límites de sucesiones recurrentes
Una sucesión puede definirse con una regla como $a_{n+1}=f(a_n)$. También puedes ver la misma regla escrita con el término anterior, $a_n=f(a_{n-1})$. Es la misma idea con el índice desplazado en uno. Si sabes que la sucesión converge a algún $L$, entonces tanto $a_n$ como $a_{n+1}$ (o $a_{n-1}$) tienden a $L$. Así que $L$ debe cumplir la ecuación del punto fijo $L=f(L)$.
La gráfica siguiente muestra la idea para $f(x)=\frac{x}{3}+4$. El límite está donde la recta $y=f(x)$ corta a la recta $y=x$.
Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la…
Un paciente recibe una dosis diaria de un medicamento. Tras la absorción y eliminación a lo largo del día, la concentración del fármaco en sangre justo antes de la siguiente dosis sigue la relación de recurrencia $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0.4$, donde $15 \text{ mg/L}$ es el aporte de la nueva dosis y el factor $0.4$ indica que queda un $40\%$ del fármaco del día anterior. Si la concentración inicial es $C_1 = 15$, calcula la concentración de equilibrio en la sangre a largo plazo, es decir, $\lim_{n \to \infty} C_n$.
Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como…
Se define una sucesión mediante la siguiente ley de recurrencia: el primer término es $a_1 = \sqrt{6}$, y cada término siguiente se obtiene como $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. Asumiendo que la sucesión es creciente y está acotada superiormente (por lo que es convergente y tiene un límite $L$), plantea la ecuación que debe cumplir el límite y hállalo.
El número e
Mira $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$. La base tiende a $1$, y $1$ elevado a cualquier potencia es $1$, pero el exponente tiende a $\infty$, y una potencia tan grande puede hacer crecer un pequeño exceso. Estas dos fuerzas luchan entre sí. El resultado es una constante nueva.
En general, para cualquier número real $k$:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=e^k\qquad\text{y}\qquad\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{kn}=e^k.$$¿Por qué? Sea $m=n/k$. Entonces $\left(1+\frac{k}{n}\right)^n=\left(1+\frac1m\right)^{km}=\left[\left(1+\frac1m\right)^m\right]^k\to e^k$.
De aquí viene el interés compuesto continuo. Si $P$ dólares ganan interés a una tasa anual $r$, capitalizado $n$ veces al año, el saldo después de $t$ años es $P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$. Al hacer $n\to\infty$ se obtiene $Pe^{rt}$.
Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión: $g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$
Aplicando la definición del número $e$, calcula el límite de la siguiente sucesión:
$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$
Se depositan $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés anual del $3.5\%$. Si la entidad capitaliza los intereses $n…
Se depositan $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés anual del $3.5\%$. Si la entidad capitaliza los intereses $n$ veces al año, el capital acumulado tras $10$ años viene dado por la sucesión $Cn = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0.035}{n}\right)^{10n}$. Calcula el capital límite que se obtendría si la capitalización fuera continua ($n \to \infty$).
La forma $1^\infty$ en general
A menudo la base no está escrita como $1+\frac1n$. Por ejemplo, $\dfrac{n+5}{n+1}$ tiende a $1$, pero esconde la parte "$1+$". La siguiente regla se encarga de esto.
Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$
Calcula el límite de la sucesión, transformando la expresión para aplicar el límite del número $e$:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$
Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:…
Resuelve el siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a las operaciones algebraicas en el exponente:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$
Volvamos al principio: la temperatura del chocolate $70+90\,(0.9)^n$ es una sucesión convergente de tipo geométrico. Su límite es $70$ °F, la temperatura ambiente, y la distancia al límite se reduce pero nunca desaparece.