Límite de una función cuando x tiende a a
Una patinadora baja por una rampa y su posición después de $t$ segundos es $s(t)$ pies. El velocímetro muestra qué tan rápido va en un instante exacto. Pero la rapidez es distancia dividida entre tiempo, y en un solo instante no pasa tiempo ni se recorre distancia, así que obtienes $\frac{0}{0}$. ¿Cómo se puede decir cuál es la rapidez en ese instante? Los límites responden esto: no sustituyes el instante, sino que observas qué ocurre cuando te acercas más y más a él.
Qué significa un límite
Mira $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ cerca de $x = 1$. No puedes sustituir $x = 1$, porque el denominador sería $0$. Pero puedes acercarte a $1$ tanto como quieras, por la izquierda y por la derecha. Para $x \neq 1$, $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$, así que la gráfica es la recta $y = x + 1$ con un hueco en $(1, 2)$.
En una gráfica, un círculo abierto marca un punto que no pertenece a la gráfica, y un punto relleno marca el valor real. El límite es la altura hacia la que se dirige la curva, que encuentras siguiéndola desde ambos lados.
Observa la gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$ y el valor de $f(2)$, y explica brevemente la diferencia entre ambos conceptos.
Observa la gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$ y el valor de $f(2)$, y explica brevemente la diferencia entre ambos conceptos.
Sustitución directa
La mayoría de las veces no necesitas tablas. Si $f$ es una función "bien portada" (un polinomio, una función racional, un radical, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$) y $a$ está en su dominio, la curva no tiene ruptura en $a$. Entonces el límite es simplemente el valor:
La gráfica de arriba no tiene ruptura en $x = 2$, así que el límite allí es simplemente la altura de la curva.
Calcula el límite de la siguiente función racional mediante sustitución directa: $\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x + 2}$
Calcula el límite de la siguiente función racional mediante sustitución directa:
$\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x + 2}$
Calcula el límite de la siguiente expresión que combina funciones trascendentes: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos(x)}{\ln(x+e)}$
Calcula el límite de la siguiente expresión que combina funciones trascendentes:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos(x)}{\ln(x+e)}$
Límites laterales
A veces el lado izquierdo y el lado derecho se dirigen a lugares distintos. Ocurre con funciones definidas por partes y con valores absolutos, así que mantienes los dos lados separados.
Aquí $\lim_{x\to 1^-} f(x) = 3$ y $\lim_{x\to 1^+} f(x) = 1$. Los lados no coinciden, así que $\lim_{x\to 1} f(x)$ no existe.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$.
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la función $h(x)$ en $x = -2$:…
Calcula el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la función $h(x)$ en $x = -2$:
$h(x) = \begin{cases} x^2 + kx & \text{si } x < -2 \\ \frac{8}{x} - k & \text{si } x > -2 \end{cases}$
Estudia si existe el límite $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ calculando previamente sus límites laterales por la izquierda y por la derecha.
Estudia si existe el límite $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ calculando previamente sus límites laterales por la izquierda y por la derecha.
Resolver 0/0 por factorización
Cuando una función racional da $\frac{0}{0}$ en $x = a$, tanto el numerador como el denominador tienen el factor $(x - a)$. Como el límite nunca usa $x = a$, puedes cancelar ese factor y luego sustituir.
La gráfica es la recta $y = x + 2$ con un hueco en $x = 3$. El límite es la altura del hueco, $5$.
Los cúbicos necesitan primero una raíz. Si el numerador es $0$ en $x = a$, entonces $(x - a)$ es un factor, y puedes hallar el otro factor con división sintética. En algunos problemas se llama regla de Ruffini: es el mismo método.
Otras identidades útiles: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ y $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación algebraica: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$
Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación algebraica:
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$
Calcula el siguiente límite factorizando los polinomios mediante la regla de Ruffini o identidades notables: $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$
Calcula el siguiente límite factorizando los polinomios mediante la regla de Ruffini o identidades notables:
$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$
La tasa de crecimiento de una población de bacterias en un experimento de laboratorio viene dada por la expresión $C(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ para $t \neq 4$, donde…
La tasa de crecimiento de una población de bacterias en un experimento de laboratorio viene dada por la expresión $C(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ para $t \neq 4$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿A qué valor se aproxima la tasa de crecimiento cuando el tiempo se acerca a las $4$ horas?
Radicales: multiplica por el conjugado
Cuando el $\frac{0}{0}$ involucra una raíz cuadrada, factorizar no ayuda. En cambio, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión con radical. El conjugado de $\sqrt{u} - c$ es $\sqrt{u} + c$. El producto es una diferencia de cuadrados que elimina la raíz:
$$(\sqrt{u} - c)(\sqrt{u} + c) = u - c^2.$$Resuelve el siguiente límite multiplicando por la expresión conjugada adecuada: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite multiplicando por la expresión conjugada adecuada:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$
El costo medio (en dólares) de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión está modelado por la función…
El costo medio (en dólares) de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión está modelado por la función $C(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 100} - 10}{x^2}$. ¿Hacia qué valor tiende el costo medio cuando el nivel de producción $x$ es muy pequeño (es decir, cuando tiende a $0$)?
La concentración de un anestésico en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular está dada por el modelo matemático…
La concentración de un anestésico en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular está dada por el modelo matemático $C(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t^2}$ para el intervalo $0 < t < 1$. ¿Cuál es el límite de la concentración cuando el tiempo $t$ se aproxima a $0$?
Formas 0/0 más difíciles
Tres herramientas más resuelven los casos difíciles.
Cúbicos. Encuentra la raíz por sustitución, divide con división sintética y factoriza el cociente. Quizás debas hacerlo dos veces si $(x - a)$ aparece como factor doble.
Radicales en el numerador y en el denominador. Racionaliza cada uno con su propio conjugado. El factor cero que aparece en ambos se cancela.
Raíces distintas. Cuando se mezclan raíces cuadradas y cúbicas (u otros índices), sustituye $x = t^n$, donde $n$ es el mínimo común múltiplo de los índices. Así cada raíz se vuelve una potencia de $t$. Recuerda que $x \to a$ significa $t \to a^{1/n}$.
Resuelve el siguiente límite que presenta una doble indeterminación con radicales en el numerador y en el denominador:…
Resuelve el siguiente límite que presenta una doble indeterminación con radicales en el numerador y en el denominador:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{\sqrt{x} - 1}$
En el diseño estructural de una viga, el esfuerzo cortante $E(x)$ a una distancia $x$ pies del soporte principal viene dado por la función racional…
En el diseño estructural de una viga, el esfuerzo cortante $E(x)$ a una distancia $x$ pies del soporte principal viene dado por la función racional $E(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}{x^3 - 4x^2 + 5x - 2}$. Calcula el límite del esfuerzo cortante cuando $x$ se acerca a $1$ pie, punto crítico donde se produce un cambio de sección transversal.
Calcula el siguiente límite que involucra raíces de distinto índice. (Sugerencia: puedes utilizar un cambio de variable adecuado, como $x = t^6$, para simplificar los…
Calcula el siguiente límite que involucra raíces de distinto índice. (Sugerencia: puedes utilizar un cambio de variable adecuado, como $x = t^6$, para simplificar los radicales).
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$
Límites infinitos y asíntotas verticales
Si la sustitución directa da $\frac{k}{0}$ con $k \neq 0$, el denominador es diminuto cerca de $a$, así que el cociente se hace enorme. Se dirige a $+\infty$ o a $-\infty$, y el signo depende de cada lado.
Ten cuidado: un factor que no es simplemente un denominador cero igual requiere el signo del denominador completo, así que factorízalo cuando puedas. Los valores absolutos también exigen mirar cada lado por separado, como en este ejemplo.
Determina los límites laterales de la función $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 5}$ cuando $x$ tiende a $5$ e indica si existe el límite global en dicho punto.
Determina los límites laterales de la función $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 5}$ cuando $x$ tiende a $5$ e indica si existe el límite global en dicho punto.
Calcula los límites laterales y el límite global (si existe) de la siguiente función racional en el punto de anulación de su denominador:…
Calcula los límites laterales y el límite global (si existe) de la siguiente función racional en el punto de anulación de su denominador:
$\lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x^2 - 6x + 9}$
Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{|x^2 - 9|}{x - 3}$ en los puntos $x = -3$ y $x = 3$. A partir de los resultados obtenidos, indica si existen…
Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{|x^2 - 9|}{x - 3}$ en los puntos $x = -3$ y $x = 3$. A partir de los resultados obtenidos, indica si existen los límites globales en dichos puntos.
Leer límites en gráficas y combinarlos
Leer un límite en una gráfica significa recorrer la curva con el dedo hacia $x = a$ desde cada lado y anotar la altura hacia la que te diriges.
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Un punto relleno es el valor real $f(a)$. Un círculo abierto es un punto que la gráfica omite.
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Si tus dos dedos se encuentran a la misma altura, el límite existe, sin importar lo que esté dibujado en $x = a$.
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Si llegan a alturas distintas (un salto), el límite no existe, pero cada límite lateral sí.
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Si la curva se dispara hacia arriba o hacia abajo a lo largo de una recta vertical, el límite es $\pm\infty$.
Cuando una función se construye a partir de otras, las leyes de los límites te permiten combinar límites laterales que lees en las gráficas.
En la imagen, $h(x) = x$ tiende a $0$ en $x = 0$, y el recíproco $\frac1x$ se dispara en direcciones opuestas, porque $x$ cambia de signo.
Observa la gráfica de la función $g(x)$, que representa el perfil de temperatura en una reacción química. Determina los límites laterales en $x = -2$ y el límite global…
Observa la gráfica de la función $g(x)$, que representa el perfil de temperatura en una reacción química. Determina los límites laterales en $x = -2$ y el límite global en $x = 3$.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, determina el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} (h(x))^2$ y $\lim_{x \to 1^+} (h(x))^2$. A continuación,…
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, determina el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} (h(x))^2$ y $\lim_{x \to 1^+} (h(x))^2$. A continuación, justifica si existe el límite global $\lim_{x \to 4} \frac{1}{h(x)}$.
Cómo hallar parámetros desconocidos
Con frecuencia un problema dice "halla el valor de $k$ (o $a$, $b$, $m$, $n$) para que el límite exista o tenga un valor dado". Usa estas reglas:
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Funciones por partes: iguala los dos límites laterales en cada punto de quiebre.
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Un cociente $\frac{0}{0}$ con límite finito: el denominador es $0$ en $a$, así que el numerador también debe ser $0$ en $a$. Eso da una ecuación para el parámetro. Luego factoriza y termina.
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Límites con radicales y un parámetro: racionaliza primero y luego resuelve la ecuación resultante para el parámetro.
Mueve $c$: la gráfica tiene una asíntota vertical en $x = -1$ a menos que $c$ tome un valor especial, en el cual la asíntota se convierte en un hueco. Ese valor es el que hace que el límite exista.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que existan los límites de la función $f(x)$ en los puntos de ruptura $x = 0$ y $x = 3$:…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que existan los límites de la función $f(x)$ en los puntos de ruptura $x = 0$ y $x = 3$:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 0 \\ 2x - a & \text{si } 0 < x < 3 \\ \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ sabiendo que se cumple la siguiente igualdad de límites: $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + mx + n}{x + 1} = 4$
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ sabiendo que se cumple la siguiente igualdad de límites:
$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + mx + n}{x + 1} = 4$
Determina el valor del parámetro $a > 0$ para que se cumpla la siguiente condición sobre el límite: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{x} = \frac{1}{4}$
Determina el valor del parámetro $a > 0$ para que se cumpla la siguiente condición sobre el límite:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{x} = \frac{1}{4}$
Límites y razón de cambio instantánea
Volvamos a la patinadora. Supón que su posición es $s(t) = t^2 + 3t$ pies. Su rapidez promedio de $t = 1$ a un tiempo cercano $t$ es $\dfrac{s(t) - s(1)}{t - 1}$. Eso funciona para cualquier $t \neq 1$. La velocidad instantánea en $t = 1$ es el valor al que se acercan estas rapideces promedio cuando $t \to 1$. Es un límite de tipo $\frac{0}{0}$ que resuelves factorizando.
La curva de arriba muestra la rapidez promedio entre $1$ y $x$. Tiene un hueco en $x = 1$, y la altura del hueco es la velocidad instantánea.
Este límite se llama la derivada de $s$ en $t = 1$. Usarás exactamente esta idea en cálculo.
La posición de un móvil a lo largo de una trayectoria rectilínea en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $s(t) = 3t^2 - t$ (en pies). La…
La posición de un móvil a lo largo de una trayectoria rectilínea en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $s(t) = 3t^2 - t$ (en pies). La velocidad instantánea en el instante $t = 2$ se calcula mediante el límite $\lim_{t \to 2} \frac{s(t) - s(2)}{t - 2}$. Calcula el valor de dicha velocidad instantánea.