Operaciones con sucesiones y formas indeterminadas
Aaliyah gana $n^2 + 5n$ seguidores nuevos al día $n$, y Marcus gana $3n^2 + 1$. Los dos totales crecen sin límite. A la larga, ¿cómo se comparan sus cantidades de seguidores? Cada uno "tiende a infinito", así que no puedes simplemente sustituir $\infty$. En esta sección aprenderás a combinar sucesiones, cuándo el límite se comporta como esperas y qué hacer cuando no es así.
Leyes de los límites y aritmética con infinito
Ya sabes calcular el límite de una sola sucesión. Ahora vas a sumar, multiplicar y dividir sucesiones. Cuando los límites son números finitos, todo funciona como esperas.
Aritmética con infinito
Cuando una de las sucesiones crece sin límite, algunos resultados siguen siendo automáticos. Aquí $k$ es un número finito.
| Expresión | Resultado |
|---|---|
| $\infty + \infty$ | $\infty$ |
| $\infty \cdot \infty$ | $\infty$ |
| $k \cdot \infty$ | $+\infty$ si $k > 0$, $-\infty$ si $k < 0$ |
| $\dfrac{k}{\infty}$ | $0$ |
| $\dfrac{k}{0^+}$ (con $k>0$) | $+\infty$ |
Las formas indeterminadas
Algunas combinaciones no tienen una respuesta automática. Son las formas indeterminadas:
$$\frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad 0 \cdot \infty \qquad 1^{\infty} \qquad \frac{0}{0}$$"Indeterminada" significa que la forma por sí sola no te dice el límite. Distintas sucesiones con la misma forma dan límites distintos. Primero tienes que reescribir la expresión, y el resto de esta página es una caja de herramientas para hacerlo.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
$\frac{\infty}{\infty}$: comparar grados
La forma indeterminada más común es un cociente de dos polinomios en $n$. Los dos tienden a infinito, pero uno puede ganar la carrera.
Mira $\dfrac{6n^2 - n}{2n^2 + 7}$. Divide el numerador y el denominador entre la potencia más alta del denominador, $n^2$:
$$\frac{6 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{7}{n^2}} \to \frac{6 - 0}{2 + 0} = 3$$Cada término con $n$ en el denominador tiende a $0$, así que solo sobreviven los términos principales.
Volvamos al inicio: Aaliyah tiene $n^2 + 5n$ seguidores y Marcus tiene $3n^2 + 1$. Los grados empatan, así que el cociente es $\dfrac{n^2 + 5n}{3n^2 + 1} \to \dfrac{1}{3}$. A la larga, Aaliyah tiene alrededor de un tercio de los seguidores de Marcus. Ambos tienden a infinito, y sin embargo el cociente se estabiliza en $\frac13$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Primero desarrolla, luego compara
A veces el numerador o el denominador no está escrito como un polinomio simple. Quizá tengas que desarrollarlo o sumar una serie de términos antes de ver el grado verdadero.
Un biólogo modela el crecimiento de una población de bacterias en un cultivo cerrado mediante la sucesión $P_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo…
Un biólogo modela el crecimiento de una población de bacterias en un cultivo cerrado mediante la sucesión $P_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en horas y $P_n$ el número de individuos en miles. ¿Hacia qué valor se estabiliza la población a muy largo plazo?
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión…
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:…
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
Radicales y exponenciales: divide entre el término dominante
Los radicales y las exponenciales también tienen una parte "dominante". Un radical como $\sqrt{9n^2 + n}$ actúa como $3n$ (grado $1$). Una exponencial le gana a cualquier potencia de $n$. Divide numerador y denominador entre el término dominante, y el resto tiende a $0$.
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador: $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación…
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación cuando $n \to \infty$.
$\infty - \infty$ con expresiones racionales
Cuando restas dos fracciones algebraicas que crecen sin límite, combínalas con un denominador común y simplifica. Normalmente la forma indeterminada desaparece.
Cómo hallar parámetros
A veces te dan el límite y debes hallar una constante desconocida. Combina las fracciones y luego fuerza que el grado del numerador sea lo bastante bajo.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas: $d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas:
$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
$\infty - \infty$ con un radical: el conjugado
Cuando la diferencia incluye una raíz cuadrada, multiplica y divide por el conjugado. Esto usa la diferencia de cuadrados, $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, que hace desaparecer la raíz.
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
La desviación en pulgadas de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando…
La desviación en pulgadas de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
$\infty - \infty$ con dos radicales
Si los dos términos son raíces cuadradas, usa la misma idea. El conjugado de $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ es $\sqrt{A} + \sqrt{B}$, y el producto es $A - B$. Las raíces desaparecen del numerador y lo que queda es un cociente de piezas de grado $1$.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:…
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
$0 \cdot \infty$: convierte el producto en una fracción
Un producto donde un factor tiende a $0$ y el otro a $\infty$ también es indeterminado. Con frecuencia el factor que tiende a $0$ es una diferencia de radicales, y el conjugado convierte el producto en un cociente que ya sabes manejar.
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este…
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este índice cuando $n \to \infty$.
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión…
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina el valor del límite de la sucesión $E_n$ cuando $n \to \infty$.
La forma $1^{\infty}$ y el número $e$
Imagina que un banco ofrece 100% de interés anual sobre $\$1$, pero lo capitaliza $n$ veces al año. Después de un año tienes $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ dólares. La base tiende a $1$ y el exponente tiende a $\infty$. ¿El resultado es $1$? ¿Es $\infty$? Ninguno de los dos.
Los valores aumentan, pero se nivelan. El límite es un famoso número irracional.
Así que, aunque el banco capitalice cada segundo, $\$1$ crece a solo unos $\$2.72$ en un año. En general, si $m_n \to \infty$, entonces $\left(1 + \frac{1}{m_n}\right)^{m_n} \to e$. Usa esto para hallar límites donde el exponente es un múltiplo del denominador.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
La regla general para $1^{\infty}$
La mayoría de los límites $1^{\infty}$ no se ven como $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Esta es una regla que los maneja todos.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados…
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados Fahrenheit por encima de la temperatura ambiente. Determina el límite de esta temperatura.
$1^{\infty}$ con parámetros y exponentes complicados
La regla es flexible. El exponente no tiene que ser un múltiplo de $n$, y la base puede contener una constante desconocida que debes despejar.
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración…
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración límite a largo plazo es $e^6$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$?
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.