Fórmulas de suma para seno, coseno y tangente
Emma construye una rampa para patineta que sube a $30^\circ$ y la coloca sobre una colina que ya tiene una inclinación de $30^\circ$. ¿El seno del ángulo total es $\sin 30^\circ + \sin 30^\circ = \tfrac12 + \tfrac12 = 1$? Eso significaría que la rampa apunta directo hacia arriba, porque $\sin\theta = 1$ solo cuando $\theta = 90^\circ$. Algo anda mal. En esta sección verás por qué $\sin(\alpha+\beta)$ no es $\sin\alpha + \sin\beta$, a qué es igual en realidad y cómo la fórmula correcta te da valores exactos para ángulos como $75^\circ$ y $105^\circ$ sin calculadora.
Las fórmulas de suma
Imagina un punto en el círculo unitario en el ángulo $\alpha$. Si lo giras otros $\beta$ grados, llega al ángulo $\alpha+\beta$. Sus coordenadas son $(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta))$.
Girar $\beta$ lleva el punto $(1,0)$ a $(\cos\beta, \sin\beta)$ y el punto $(0,1)$ a $(-\sin\beta, \cos\beta)$. El punto en el ángulo $\alpha$ es $\cos\alpha\,(1,0) + \sin\alpha\,(0,1)$, así que después del giro queda
$$\cos\alpha\,(\cos\beta, \sin\beta) + \sin\alpha\,(-\sin\beta, \cos\beta).$$Al leer las dos coordenadas se obtienen las fórmulas siguientes.
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el…
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Valores exactos de ángulos no especiales
Los ángulos $75^\circ$, $105^\circ$ y $15^\circ$ no están en la tabla de ángulos especiales, pero puedes escribirlos como sumas de ángulos que sí lo están: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ y $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Ten a la mano esta tabla de valores especiales. Incluye radianes porque muchos problemas los usan.
| Ángulo | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ = \frac{\pi}{6}$ | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ |
| $45^\circ = \frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ = \frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\sqrt3$ |
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si…
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Usar las fórmulas al revés
Leídas de derecha a izquierda, las mismas fórmulas convierten una expresión de cuatro términos en un solo valor trigonométrico.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:…
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:
$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto: $\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto:
$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área…
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ pulgadas y $10$ pulgadas, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.
Cuando solo conoces las razones
Muchos problemas no dan $\alpha$ ni $\beta$, sino solo una razón de cada uno. Las fórmulas de suma necesitan los cuatro valores: $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\sin\beta$, $\cos\beta$. Halla los que faltan con la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ o con un triángulo rectángulo, y usa el cuadrante para elegir el signo.
Signos por cuadrante (según el lado terminal del ángulo):
| Cuadrante | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| I | $+$ | $+$ | $+$ |
| II | $+$ | $-$ | $-$ |
| III | $-$ | $-$ | $+$ |
| IV | $-$ | $+$ | $-$ |
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante),…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcula el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma…
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma línea visual, hay una torre de telecomunicaciones. El ángulo adicional de elevación desde la azotea del edificio hasta la punta de la torre, medido desde la visual anterior, es $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabiendo que ambos ángulos son agudos, calcula el valor exacto del coseno del ángulo total de elevación $\alpha + \beta$ hacia la punta de la torre.
La fórmula de la tangente y tangentes desconocidas
Cuando un problema da tangentes (pendientes), usa la fórmula de la tangente directamente. No necesitas seno ni coseno.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la…
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el…
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el primer cuadrante). El segundo eslabón forma un ángulo $\beta$ de giro relativo respecto a la prolongación del primer eslabón. Si para alcanzar una pieza crítica se requiere que la inclinación total del segundo eslabón respecto a la horizontal sea tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcula el valor exacto de $\tan \beta$.
Simplificar y demostrar identidades
Para demostrar una identidad, empieza con un lado, normalmente el más complicado, y transfórmalo paso a paso hasta que coincida con el otro. No lo trates como una ecuación ni pases términos al otro lado del signo igual.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$
Desarrolla la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupa los términos…
Desarrolla la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupa los términos adecuadamente.
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestra matemáticamente la siguiente relación…
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestra matemáticamente la siguiente relación fundamental:
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$
Resolver ecuaciones con un ángulo suma
Cuando una ecuación contiene algo como $\sin(x + 45^\circ)$ junto a $\sin x$ o $\cos x$, desarróllalo. Así la ecuación solo tendrá $\sin x$ y $\cos x$. Junta términos y divide entre $\cos x$ para obtener una tangente.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Encuentra todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.
Encuentra todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y da los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes: $\sin(x+y) = 1$…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y da los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes:
$\sin(x+y) = 1$
$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$
Aplicaciones: pendientes y ángulos combinados
La pendiente de una rampa o de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación. Cuando una inclinación se suma a otra, la fórmula de la tangente de una suma da la nueva pendiente sin necesidad de hallar los ángulos.
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en…
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación…
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, y el segundo una desviación adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demuestra que la desviación total $\alpha + \beta$ es exactamente $45^\circ$ calculando la tangente del ángulo suma.
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte…
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte corriente de viento lateral desvía su trayectoria un ángulo adicional $\beta$ hacia el norte, de modo que el rumbo efectivo sobre el suelo forma un ángulo $\alpha + \beta$ con el este. Si la torre de control mide que la tangente del rumbo efectivo es $\frac{12}{5}$, halla los valores exactos de $\sin \beta$ y $\cos \beta$ sin recurrir al cálculo de los ángulos con calculadora.