Funciones polinomiales
Un dron con cámara despega para filmar un partido de fútbol americano, y la aplicación de control registra su altura en pies cada segundo: $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Esa expresión es un polinomio en $t$, así que la gráfica del vuelo es la gráfica de una función polinomial. ¿Qué altura alcanza el dron y cuándo? Al final de esta página podrás responderlo, y mucho más: comportamiento en los extremos, ceros, signo, intersecciones y optimización en situaciones reales.
¿Qué es una función polinomial?
Cada grado tiene un nombre: el grado 0 es constante, el 1 es lineal, el 2 es cuadrático, el 3 es cúbico y el 4 es cuártico. El rango depende de la familia y no siempre son todos los números reales.
Para evaluar un polinomio, sustituye el valor de entrada y sigue el orden de las operaciones. Para hallar un coeficiente desconocido, sustituye un punto que esté en la gráfica y despeja la incógnita.
Calcule el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.
Calcule el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.
La altura en pies de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule la altura a la que se…
La altura en pies de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.
Funciones lineales
Halle la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.
Halle la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.
Funciones cuadráticas: vértice y eje de simetría
Algunos problemas llaman "cóncava" a una parábola que abre hacia abajo y "convexa" a una que abre hacia arriba. En EE. UU. decimos cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba.
Determine las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determine las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcule las coordenadas exactas de su…
Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcule las coordenadas exactas de su vértice.
Dada la función cuadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determine de forma razonada sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Dada la función cuadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determine de forma razonada sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Forma de vértice: escribir una parábola a partir de su vértice
Si conoces el vértice, la forma de vértice es la manera más rápida de escribir la ecuación.
Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Exprese el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Exprese el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.
El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ pies y el punto más bajo del…
El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ pies y el punto más bajo del cable se encuentra a $20$ pies por debajo del punto de enganche en las torres. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, halle la ecuación de la parábola y calcule la altura del cable a $30$ pies del centro.
Hallar una cuadrática a partir de condiciones
Una función cuadrática tiene tres incógnitas, $a$, $b$ y $c$. Por eso necesitas tres condiciones, y cada una da una ecuación. Un punto de la gráfica da una ecuación al sustituirlo. Una afirmación sobre el vértice da una ecuación usando $x_v = -\frac{b}{2a}$ y $y_v = f(x_v)$.
Si la ecuación para la incógnita termina con un discriminante negativo, entonces ninguna función cumple todas las condiciones. Esa es una respuesta válida.
Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$…
Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.
Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra…
Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra sobre la recta $y = -x + 1$, encuentre la expresión analítica de la función o funciones que cumplen estas condiciones.
Comportamiento en los extremos y simetría
El grado y el signo del coeficiente principal determinan lo que le pasa a $f(x)$ cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. Este es el comportamiento en los extremos (end behavior) de la gráfica.
Analice el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando…
Analice el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determine su expresión analítica y…
Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determine su expresión analítica y calcule todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
Ceros y factorización
Para hallar los ceros, iguala $f(x) = 0$ y factoriza. Primero saca el máximo común divisor (MCD), luego factoriza lo que queda, o usa la fórmula cuadrática $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ cuando no se factoriza fácilmente. La intersección con el eje $y$ siempre es $f(0)$.
Cuando una cúbica no tiene factor común y no es una diferencia de cuadrados, prueba un cero (intenta enteros pequeños como $\pm1, \pm2, \pm3$) y luego usa la división sintética para dividirlo. El residuo es $f(\text{valor probado})$, así que un residuo de $0$ confirma un cero, y el cociente es una cuadrática que puedes factorizar. La página de Álgebra 1 enlazada al inicio repasa este procedimiento.
Encuentre las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Encuentre las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Calcule analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.
Calcule analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.
Halle la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de…
Halle la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.
Signo de un polinomio
Entre dos ceros consecutivos, un polinomio no puede cambiar de signo, porque para hacerlo tendría que pasar por $0$. Así que los ceros dividen la recta numérica en intervalos, y pruebas un punto en cada uno.
Encuentre las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudie su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y…
Encuentre las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudie su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y negativa.
Intersecciones, rectas tangentes y el discriminante
La idea del discriminante también sirve para contar los ceros de polinomios que son cuadráticos en forma, como $x^4 - 6x^2 + k$. Sustituye $u = x^2$ para obtener $u^2 - 6u + k = 0$. Luego recuerda que cada $u$ positivo da dos valores de $x$ ($\pm\sqrt{u}$), $u = 0$ da uno, y un $u$ negativo no da ninguno.
Calcule analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = 2x - 5$.
Calcule analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = 2x - 5$.
Determine los valores del parámetro $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx - 4$ es tangente a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$.
Determine los valores del parámetro $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx - 4$ es tangente a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$.
Calcule el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.
Calcule el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.
Aplicaciones: optimización
Cuando una cantidad se modela con una parábola que abre hacia abajo, su vértice da el máximo. Si abre hacia arriba, el vértice da el mínimo. La coordenada $x$ del vértice te dice cuándo o dónde ocurre el extremo, y la coordenada $y$ te dice qué tan grande o pequeño es.
La misma estrategia sirve para todo problema de optimización: usa la restricción dada para escribir la cantidad como función de una variable, asegúrate de que sea cuadrática y halla el vértice. En los problemas de dinero, el ingreso es precio por cantidad: $R(x) = x \cdot p(x)$. Por ejemplo, si el precio es $p(x) = 50 - x$ dólares cuando se demandan $x$ unidades, entonces $R(x) = x(50 - x) = -x^2 + 50x$, con vértice en $x = 25$ y $R(25) = \$625$.
De vuelta al dron: para $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, el vértice está en $t_v = -\dfrac{20}{2(-5)} = 2$ s, y la altura máxima es $h(2) = -5(4) + 40 + 2 = 22$ ft.
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en pies respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcule la altura…
Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en pies respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcule la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.
Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner cerca en ese lado.…
Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner cerca en ese lado. Exprese el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determine las dimensiones que maximizan dicha área.
El precio de venta en dólares de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escriba la…
El precio de venta en dólares de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escriba la función de ingresos totales $R(x)$ y calcule cuántas unidades deben venderse para maximizar los ingresos.
Modelos con polinomios: ganancia y volumen
Los polinomios de grado mayor que 2 también modelan situaciones de geometría. Aquí el modelo por sí solo no basta: en contexto, el dominio está limitado por lo que tiene sentido físicamente.
Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en dólares es $p(x) = 200 - 0.5x$. Los costos…
Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en dólares es $p(x) = 200 - 0.5x$. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 5000 + 20x$. Exprese la función de beneficios $B(x)$, determine el número de unidades que maximiza el beneficio y calcule a cuánto asciende dicho beneficio máximo.
Se dispone de una lámina de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado…
Se dispone de una lámina de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas resultantes. Exprese el volumen $V(x)$ de la caja como una función polinómica, indique cuál es su dominio válido en el contexto de este problema geométrico y calcule el volumen si se recorta un cuadrado de $5$ pulgadas de lado.