Un planificador urbano de Chicago quiere que una calle nueva se encuentre con Lake Shore Drive formando un ángulo recto perfecto. Un equipo de drones necesita saber exactamente cómo se cruzan dos trayectorias de vuelo. En un mapa con coordenadas no necesitas transportador: las ecuaciones de las rectas ya te dan el ángulo. En esta sección aprenderás a leer ese ángulo a partir de las pendientes o de los vectores directores, y a construir rectas paralelas o perpendiculares a una recta dada.
Pendiente y ángulo de inclinación
Toda recta no vertical está inclinada con cierto ángulo. El ángulo de inclinación $\theta$ es el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el semieje $x$ positivo hasta la recta, con $0^\circ \le \theta < 180^\circ$.
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Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Dos rectas que se cruzan forman cuatro ángulos: dos agudos iguales y dos obtusos iguales. Por convención, "el ángulo entre dos rectas" es el agudo (o $90^\circ$ si son perpendiculares).
¿De dónde sale la fórmula? Si $r$ y $s$ tienen inclinaciones $\theta_1$ y $\theta_2$, el ángulo entre ellas es la diferencia $\theta_2 - \theta_1$. La identidad de la tangente de una diferencia da
Dos rectas que se inclinan igual nunca se cruzan. La pendiente mide la inclinación, así que pendientes iguales significan rectas paralelas.
Muchos problemas llaman a $Ax + By + C = 0$ la ecuación general. En los libros de EE. UU. es la forma estándar con todos los términos pasados a un lado, y aquí la llamaremos forma general. Un atajo útil: una recta paralela a $Ax + By + C = 0$ tiene los mismos $A$ y $B$ y solo cambia la constante: $Ax + By + C' = 0$. Después sustituyes el punto dado para hallar $C'$.
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Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Girar una dirección $\langle a, b\rangle$ $90^\circ$ da $\langle -b, a\rangle$: el avance y la elevación se intercambian y uno cambia de signo. Por eso la pendiente de una recta perpendicular es el recíproco negativo.
Mueve el deslizador: sea cual sea la pendiente $m$, la segunda recta sigue formando un ángulo recto con la primera.
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Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Para la condición del ángulo es preferible la versión en forma general: un parámetro puede hacer vertical una recta (por ejemplo $k = 0$ en $2x + ky - 5 = 0$), y la fórmula con pendientes pasaría por alto ese caso.
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Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre rieles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre rieles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
Determina $a$ para que los rieles sean paralelos.
Halla la ecuación de un tercer riel transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al riel $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.
Una ecuación como $(2 + k)x + (2k - 1)y - 5k = 0$ describe una recta distinta para cada valor de $k$. Agrupa los términos con $k$:
$$(2x - y) + k(x + 2y - 5) = 0.$$
Si un punto cumple a la vez $2x - y = 0$ y $x + 2y - 5 = 0$, entonces la ecuación se cumple para todo $k$. Así, todas las rectas de la familia pasan por la intersección de esas dos rectas.
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Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un…
Dada la familia de rectas dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$: $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Demuestra que todas las rectas de esta familia pasan por un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. Después, halla el valor de $k$ para obtener la recta de la familia que es perpendicular a $3x - y + 2 = 0$.
A veces conoces un punto $P$, una recta con pendiente $m_0$ y el ángulo $\alpha$ que quieres. La incógnita es la pendiente $m$ de la nueva recta. Resuelve
separándola en $m - m_0 = \pm\tan\alpha\,(1 + m\,m_0)$. Normalmente obtienes dos pendientes, una a cada lado de la recta dada. Después usa la forma punto-pendiente con $P$.
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Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones…
Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados del triángulo sabiendo que deben formar un ángulo de $60^\circ$ con el lado dado.
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de…
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos sobre el panel. Si se debe reorientar el panel pivotando sobre su punto de corte con el eje $OY$ para que los rayos incidan totalmente perpendiculares a su superficie, ¿cuál será la nueva ecuación general de la recta que define el panel?
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que…
Demuestra que si dos rectas $r: ax + by + c = 0$ y $s: a'x + b'y + c' = 0$ se cortan formando un ángulo $\alpha$, se cumple que $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliza este resultado para encontrar las ecuaciones generales de las rectas que pasan por $P(1,1)$ y forman un ángulo $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ con la recta $2x - y + 3 = 0$.
Las rectas perpendiculares son la clave de dos construcciones clásicas.
Receta: (1) halla la pendiente del lado, (2) toma el recíproco negativo, (3) usa la forma punto-pendiente con el vértice (altura) o con el punto medio (mediatriz). Si el problema da un punto como intersección de dos rectas, resuelve primero ese sistema para obtener las coordenadas.
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En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por…
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta…
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una…
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.
La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre una recta $L$ es el pie $F$ de la perpendicular desde $P$ hasta $L$. La reflexión $P'$ de $P$ en $L$ es el punto del otro lado tal que $F$ es el punto medio de $PP'$, así que $P' = 2F - P$ (coordenada por coordenada).
Para reflejar una recta $r$ en una recta $s$: (1) halla la intersección $Q$ de $r$ y $s$ (no se mueve); (2) elige otro punto de $r$ y refléjalo como arriba; (3) traza la recta que pasa por $Q$ y esa imagen.
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Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre…
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.
Dos rectas que se cruzan forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice, así que hay dos bisectrices. Todo punto de una bisectriz está a la misma distancia de ambas rectas.
Si las dos longitudes normales son distintas, como en $3x - 4y + 5 = 0$ (longitud $5$) y $12x + 5y - 1 = 0$ (longitud $13$), multiplica en cruz: $13(3x - 4y + 5) = \pm 5(12x + 5y - 1)$.
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Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus…
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.
Las coordenadas junto con las rectas perpendiculares te permiten reconstruir un polígono a partir de datos parciales. Dos hechos hacen casi todo el trabajo.
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Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de…
Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de su lado es $\sqrt{20}$, halla las coordenadas de los otros tres vértices.
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero…
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero su centro y las direcciones de sus diagonales.
Volvamos al inicio: para comprobar que una calle nueva es perpendicular a una carretera con pendiente $m$, verifica si el producto de las pendientes es $-1$, o construye la calle con pendiente $-\dfrac1m$ por el punto donde debe empezar. No hace falta transportador.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado