El equipo de robótica de tu escuela instala tres sensores en el brazo de un robot. El sensor C siempre reporta exactamente lo que reportan el sensor A y el sensor B sumados. ¿Le dice algo nuevo el sensor C al robot? El rango responde preguntas como esta, y los determinantes son la herramienta principal para hallarlo.
Qué mide el rango
Una fila es redundante si es un múltiplo de otra fila, o una suma u otra combinación de otras filas. Una fila redundante ocupa espacio en la matriz, pero no aporta ninguna dirección nueva, así que no cuenta para el rango.
Algunos problemas escriben el rango como $\text{rg}(A)$. Significa lo mismo que $\operatorname{rank}(A)$.
Esta matriz tiene 3 filas, pero solo 2 son independientes, así que su rango es 2.
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Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:
Geométricamente, las columnas de una matriz de $2 \times 2$ son los lados de un paralelogramo. El determinante es el factor (con signo) por el que la matriz multiplica el área.
El cuadrado unitario (área 1) se convierte en un paralelogramo de área 6, y el determinante es 6. Si las dos columnas apuntan en la misma dirección, el paralelogramo se aplasta en un segmento y el determinante es 0. Por eso $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 4 = 0$: sus filas son proporcionales, así que su rango es solo 1.
Para matrices de $3 \times 3$ hay un patrón con diagonales. Algunos problemas lo llaman regla de Sarrus.
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Calcule el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano: $$A =…
Calcule el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano:
Dada la matriz $M$, calcule el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$: $$M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Dada la matriz $M$, calcule el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$:
Halle el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$
Halle el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus:
El factor $(-1)^{i+j}$ produce un tablero de ajedrez de signos, que empieza con $+$ en la esquina superior izquierda.
De ahora en adelante, un menor de orden $k$ es el determinante de cualquier parte cuadrada de $k \times k$ de una matriz. El $M_{ij}$ de arriba es el caso especial de orden $n - 1$.
Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta: $$T = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 9 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 5…
Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta:
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante: $\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ Obtenga las…
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante:
Estas reglas te permiten calcular determinantes de productos, múltiplos escalares e inversas sin desarrollar nunca. Sean $A$ y $B$ matrices de $n \times n$.
Propiedad
Efecto
Transpuesta
$\lvert A^t \rvert = \lvert A \rvert$
Intercambiar dos filas (o dos columnas)
el determinante cambia de signo
Multiplicar una fila (o columna) por $k$
el determinante se multiplica por $k$
Multiplicar toda la matriz por $k$
$\lvert kA \rvert = k^n \lvert A \rvert$
Una fila de ceros, o dos filas iguales o proporcionales
el determinante es $0$
Sumar a una fila un múltiplo de otra fila
el determinante no cambia
Producto
$\lvert AB \rvert = \lvert A \rvert \lvert B \rvert$
Inversa (si existe)
$\lvert A^{-1} \rvert = \dfrac{1}{\lvert A \rvert}$
Las reglas sobre columnas funcionan igual que las reglas sobre filas.
La regla del escalar tiene una razón: $kA$ multiplica cada fila por $k$. Cada una de las $n$ filas aporta un factor $k$, así que obtienes $k^n$. La regla del producto es un teorema que usamos sin demostración. La regla de la inversa se deduce de ella: $|A||A^{-1}| = |AA^{-1}| = |I| = 1$.
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Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los…
Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los determinantes para justificar tu respuesta.
Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utilice las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los…
Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utilice las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los siguientes determinantes:
a) $|A^t \cdot A^{-1}|$
b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$
c) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera columna por $-3$.
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir,…
Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir, $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcule sin desarrollar el valor de:
Para $2 \times 2$: $\operatorname{adj}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Combinar columnas y rango. Si $|A| \ne 0$, las columnas $C_1, C_2, C_3$ son independientes. Cualesquiera columnas nuevas construidas con ellas son independientes exactamente cuando sus vectores de coeficientes son independientes.
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Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcule el…
Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcule el valor del determinante de la matriz $B$, definida como:
$$B = (2 \cdot A^t \cdot Adj(A))^{-1}$$
donde $A^t$ es la traspuesta de $A$ y $Adj(A)$ es su matriz adjunta. Razone cada paso de su cálculo indicando la propiedad aplicada.
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcule el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas…
Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcule el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas son:
Si sustituimos la tercera columna de $M$ por el vector nulo, ¿cuál sería el rango de la nueva matriz? Justifique su respuesta sin realizar cálculos numéricos detallados.
Para matrices de $4 \times 4$ o mayores, usa las tres operaciones de fila para crear ceros en una columna y luego desarrolla por esa columna.
Intercambiar dos filas multiplica el determinante por $-1$.
Reemplazar una fila por esa fila más un múltiplo de otra fila no cambia el determinante.
Multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$.
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Calcule el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:…
Calcule el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:
Calcule, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y…
Calcule, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y simplificar el cálculo:
Dada la matriz cuadrada de orden 3: $$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 1. Demuestre que $|A|$ es…
Dada la matriz cuadrada de orden 3:
$$A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Demuestre que $|A|$ es independiente del valor de la variable $x$.
Si definimos una nueva matriz $B = A - \lambda I$ (donde $I$ es la identidad), encuentre los valores de $\lambda$ para los cuales el rango de $B$ es menor que 3 cuando $x = \frac{\pi}{4}$.
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero:
Revisar todos los menores es lento. El orlado (bordering) es más rápido: empieza con un menor distinto de cero y añade una fila y una columna a la vez.
Practica★★☆Sin empezar
Determine el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$: $B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$…
Determine el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$:
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan…
Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan la estabilidad del sistema. La matriz que representa dichas fuerzas es:
$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$
Se pide:
Determine el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k$.
¿Existe algún valor de $k$ para el cual las fuerzas sean linealmente dependientes pero el rango de la matriz sea máximo? Explique su respuesta basándose en la teoría de menores.
Cuando una matriz tiene una letra $k$, el rango puede cambiar con $k$. Sigue este plan:
Halla el determinante de la mayor submatriz cuadrada (o todos los menores mayores) como una expresión en $k$.
Factorízalo y halla sus ceros.
Para cualquier otro valor de $k$, el rango es el máximo. Para cada cero, sustitúyelo y halla el rango con un menor más pequeño.
En una matriz rectangular, el rango es máximo si algún menor mayor es distinto de cero. El rango baja solo en los valores de $k$ que hacen cero a todos ellos.
Cómo se ven el rango 1 y el rango 2
Cada fila de una matriz de $3 \times 3$ es un vector en el espacio 3D, dibujado como una flecha desde el origen. El rango te dice cuánto espacio necesitan esas flechas.
Rango 1: cada fila es un múltiplo escalar de un mismo vector distinto de cero. Todos los vectores fila son paralelos (colineales): están sobre una sola recta que pasa por el origen.
Rango 2: las filas no están todas sobre una recta, pero todas están en un plano que pasa por el origen (son coplanares).
Rango 3: las filas son independientes y no caben en ningún plano. Apuntan en tres direcciones realmente distintas.
Por ejemplo, en la primera matriz de esta página, $F_2 = 2F_1$, así que esas dos flechas son paralelas. La tercera fila $(0, 1, 1)$ no está en esa recta, así que juntas las filas generan un plano y el rango es 2.
Así que cuando un problema pide los valores de los parámetros que hacen que el rango sea 1, está preguntando cuándo todas las filas se vuelven paralelas: todos los menores de $2 \times 2$ deben ser cero, y no todas las entradas son cero.
Algunos determinantes se factorizan fácilmente sin mucho trabajo. Un patrón muy útil es el determinante de Vandermonde.
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Estudie el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:…
Estudie el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:
$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$
Determine para qué valores de $k$ el rango es $1$, $2$ o $3$.
Estudie la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b &…
Estudie la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$
Determine para qué valores de $(a, b)$ el rango de $A$ es igual a 1. Describa geométricamente qué relación guardan los vectores fila cuando esto ocurre.
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por: $$T =…
En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por:
$$T = \begin{pmatrix} 1 & m & m^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \end{pmatrix}$$
Sabiendo que es un determinante de Vandermonde, expréselo como un producto de factores lineales.
Si fijamos $a=2$ y $b=5$, discuta el rango de $T$ según los valores que pueda tomar el parámetro $m$. ¿Para qué valor de $m$ el rango es mínimo?
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:…
En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$. a) ¿Cuál es el valor del determinante del…
Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$.
a) ¿Cuál es el valor del determinante del producto $|A \cdot B|$? Razone la respuesta.
b) ¿Es posible que el rango de la matriz producto $A \cdot B$ sea $3$? Explique por qué basándose en la relación entre el determinante y el rango.
Halle los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no tiene inversa.
Para los valores hallados en el apartado anterior, calcule el rango de la matriz $A^2$.
¿Es posible encontrar un valor de $\alpha$ tal que $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argumente su respuesta basándose en las propiedades del rango y los determinantes.
De vuelta al robot: pon las lecturas de cada sensor en una fila de una matriz. Si el sensor C siempre es igual a A más B, la matriz es singular y su rango es menor que el número de sensores. El sensor C es redundante, porque no aporta información independiente.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado