La ley de los senos
Dos salvavidas están en las torres $A$ y $B$, separadas 400 pies a lo largo de una playa del lago Míchigan. Los dos ven a un nadador $S$ en apuros. El salvavidas de la torre $A$ mide $52^\circ$ entre la línea de la playa y el nadador, y el de la torre $B$ mide $71^\circ$. Nadie puede tender una cinta métrica sobre el agua, y el triángulo no tiene ángulo recto. ¿A qué distancia está el nadador de cada torre? Necesitas una herramienta que funcione en cualquier triángulo. Esa herramienta es la ley de los senos.
La ley de los senos
En un triángulo rectángulo usas $\sin\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$. En un triángulo cualquiera, traza una altura para formar dos triángulos rectángulos. Eso es todo lo que necesitas.
La altura $h$ es un cateto de dos triángulos rectángulos. En el de la izquierda, $h = b\sin A$. En el de la derecha, $h = a\sin B$. Iguálalas: $b\sin A = a\sin B$, así que $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$. El mismo argumento funciona para el tercer lado.
La ley de los senos necesita un par completo: un lado junto con su ángulo opuesto. Después, un dato más te permite hallar todo lo demás.
| Lo que sabes | Qué usar |
|---|---|
| AAL o ALA (dos ángulos y un lado cualquiera) | Ley de los senos. Un solo triángulo. |
| LLA (dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos) | Ley de los senos. Cuidado: 0, 1 o 2 triángulos (secciones siguientes). |
| LAL o LLL | Ley de los cosenos (tiene su propia página). |
En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ pulgadas. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el…
En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ pulgadas. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.
Un triángulo $PQR$ tiene los ángulos $P = 50^\circ$ y $Q = 75^\circ$. Si el lado $r = 20$ pies, calcula la longitud del lado $p$.
Un triángulo $PQR$ tiene los ángulos $P = 50^\circ$ y $Q = 75^\circ$. Si el lado $r = 20$ pies, calcula la longitud del lado $p$.
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ pulgadas. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el…
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ pulgadas. Calcula la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.
La circunferencia circunscrita y las razones de senos
El valor común de las tres fracciones tiene un significado geométrico. Es el diámetro de la circunferencia que pasa por los tres vértices.
Dos consecuencias rápidas:
-
Si conoces dos ángulos, el tercero es $180^\circ$ menos su suma. Un par completo te da entonces $2R$, y todos los demás lados se obtienen de ahí.
-
La razón de dos lados es igual a la razón de los senos de sus ángulos opuestos: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\sin B}$.
En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ pulgadas y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho…
En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ pulgadas y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halla el valor exacto de $\sin B$.
En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halla el valor exacto de $\sin B$.
En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ pulgadas, determina la…
En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ pulgadas, determina la longitud exacta del lado $c$.
Hallar un ángulo: dos respuestas posibles
Cuando la incógnita es un ángulo (conoces dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos), despejas un seno: $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a}$. Pero dos ángulos distintos tienen el mismo seno, porque
$$\sin(180^\circ - x) = \sin x.$$La tecla $\sin^{-1}$ de tu calculadora solo da el ángulo agudo. El otro candidato es $180^\circ - x$.
Imagina el lado $a$ como una barra articulada en $C$ que gira hacia el suelo. Puede tocar el suelo en dos lugares, $B_1$ y $B_2$. Ambos triángulos tienen los mismos $A$, $a$ y $b$.
Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ pulgadas, $b = 10$ pulgadas y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.
Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ pulgadas, $b = 10$ pulgadas y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determina el valor del ángulo $B$.
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$,…
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$, halla la medida del ángulo $A$, sabiendo de antemano que es un ángulo agudo.
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las…
En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.
¿Cuántos triángulos? El caso LLA
Puedes saber cuántos triángulos existen antes de resolver. Dados el ángulo $A$, el lado $b$ (adyacente a $A$) y el lado $a$ (opuesto a $A$), compara $a$ con la altura $h = b\sin A$.
El camino más corto de $C$ al suelo es $h$. Por eso el lado $a$ debe ser al menos así de largo.
Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta…
Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.
En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ pulgadas y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ pulgadas. Determina,…
En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ pulgadas y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ pulgadas. Determina, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.
Dos observadores: hallar distancias
Los topógrafos y los marineros miden dos ángulos desde los extremos de una línea base que sí pueden medir, y luego usan la ley de los senos para hallar distancias que no pueden medir.
Quedó resuelto el problema inicial: el nadador está a unos 451 pies de la torre $A$ y a 376 pies de la torre $B$. La torre $B$ tiene el trayecto más corto, lo cual tiene sentido porque ve al nadador con el ángulo mayor.
Los observadores también pueden estar en el suelo mirando hacia arriba a algo que queda entre ellos, como un satélite. Haz primero el dibujo: si el objeto está entre los dos observadores, los ángulos de elevación son los dos ángulos interiores de la base del triángulo.
Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ millas a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro.…
Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ millas a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcula la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.
Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ millas en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan…
Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ millas en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan un satélite $S$ que transita en el mismo plano vertical que los une, de modo que su proyección sobre el suelo queda entre $A$ y $B$. El ángulo de elevación medido desde $A$ es de $82^\circ$ y el medido desde $B$ es de $85^\circ$. Calcula la distancia exacta desde el observador $A$ hasta el satélite.
Ángulos de elevación desde el mismo lado
A veces las dos mediciones se toman desde el mismo lado del objeto, por ejemplo al caminar hacia una colina o al ver acercarse un avión. Un ángulo de elevación se mide hacia arriba desde la horizontal. Los ángulos del triángulo salen de dos hechos:
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El ángulo interior en el punto más cercano es $180^\circ - (\text{su elevación})$.
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El ángulo en el objeto es la diferencia de las dos elevaciones (teorema del ángulo exterior).
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ pies por detrás de $A$ en el mismo…
Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ pies por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.
Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$…
Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ mph, calcula la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.
Objetos inclinados y terreno en pendiente
Cuando el terreno no es plano o el objeto no es vertical, lo único que cambia es cómo hallas los ángulos interiores. Haz el dibujo, marca todos los ángulos que conoces respecto a la horizontal o la vertical, y luego pregúntate cuál es el ángulo dentro del triángulo.
Si el asta se inclinara alejándose de ti con $80^\circ$ medidos en su lado lejano, el ángulo dentro del triángulo sería $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Veamos ahora un terreno en pendiente. Un poste vertical está en $B$ sobre una ladera. Cuidado con el ángulo en $B$: el poste es vertical, pero la pendiente está inclinada.
Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ pies de la base de la torre, exactamente en…
Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ pies de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcula la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.
La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$…
La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ pies más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcula la altura exacta del poste.
Área y polígonos regulares
Cuando conoces dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, el área sale de la altura $h = b\sin C$:
En un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$, une el centro con dos vértices vecinos. Obtienes un triángulo isósceles con dos lados $R$ y ángulo en el vértice $\dfrac{360^\circ}{n}$.
Las mismas ideas dan fórmulas elegantes. Por ejemplo, usando $a = 2R\sin A$ y $b = 2R\sin B$ en $\text{Área} = \tfrac12 ab\sin C$:
Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Utiliza el teorema del seno en los…
Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Utiliza el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro…
Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ pies. Calcula el área total de la parcela.
Demuestra que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:…
Demuestra que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$
(Pista: Expresa el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínalo con el teorema del seno).
Demostrar identidades con la ley de los senos
Muchas demostraciones empiezan con el mismo paso. Sea $k$ el valor común $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ (así que $k = 2R$). Entonces
$$a = k\sin A, \qquad b = k\sin B, \qquad c = k\sin C.$$Sustituye estas expresiones, cancela $k$ y termina con identidades trigonométricas como $\sin(x \pm y) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y$, $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ y $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.
Demuestra, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:…
Demuestra, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:
$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestra que los senos…
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestra que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.
En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestra, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del…
En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestra, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del ángulo doble, que las longitudes de los lados cumplen la relación $a = 2b \cos B$.
La ley de los senos en dos triángulos
Un segmento que va de un vértice al lado opuesto divide el triángulo en dos triángulos más pequeños que comparten ese segmento. Aplica la ley de los senos en ambos y usa un dato clave: los dos ángulos en el punto $D$ del lado forman un par lineal, así que son suplementarios y tienen senos iguales.
Para el teorema de la bisectriz haces los mismos pasos con la bisectriz, donde $\angle BAD = \angle CAD$, así que sus senos también son iguales.
En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplica el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para…
En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplica el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:
$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$