Funciones radicales
Escribes $\sqrt{5-8}$ en tu calculadora gráfica y te responde ERR: NONREAL ANS. La calculadora te dice que $\sqrt{-3}$ no es un número real. Ingenieros, físicos y economistas chocan con la misma pared: una fórmula con una raíz solo tiene sentido para algunos valores de entrada. En esta sección vas a hallar esos valores de forma exacta, resolviendo una desigualdad (también llamada inecuación), y aprenderás a graficar, transformar e invertir funciones radicales. Al final volvemos al error de la calculadora.
Índice par: resuelve la desigualdad del radicando
¿Por qué? Una potencia par de un número real nunca es negativa, así que ningún número real elevado al cuadrado (o a la cuarta) da un resultado negativo. Un radicando negativo no tiene raíz real.
Determine el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par: $f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Determine el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par:
$f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Calcule el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Calcule el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Radicandos cuadráticos y un parámetro
Cuando el radicando es cuadrático, la respuesta no siempre es una semirrecta. Depende de si la parábola $y=g(x)$ abre hacia arriba o hacia abajo y de dónde corta al eje $x$.
¿Cuándo el dominio es todo $\mathbb{R}$?
A veces hay un parámetro escondido en el radicando, como en $\sqrt{x^2+kx+9}$. El dominio son todos los números reales exactamente cuando $x^2+kx+9\ge 0$ para todo $x$. Una parábola que abre hacia arriba nunca baja del eje $x$ cuando no tiene intersecciones con el eje $x$ o solo lo toca. Eso significa que el discriminante no es positivo: $$b^2-4ac\le 0$$
Halle el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada: $h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Halle el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada:
$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Determine los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Determine los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Índice impar: sin restricción
Una potencia impar puede ser negativa (basta elevar $-2$ al cubo), así que todo número real tiene una raíz impar real.
Calcule el dominio de definición de la función con raíz de índice impar: $g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Calcule el dominio de definición de la función con raíz de índice impar:
$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Radicandos racionales: tablas de signos
¿Por qué una tabla de signos? No puedes simplemente multiplicar ambos lados por $q(x)$, porque no sabes si $q(x)$ es positivo o negativo. Una tabla de signos evita el problema.
El método:
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Halla los ceros del numerador y del denominador. Son los puntos críticos.
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Colócalos en una recta numérica y prueba cada intervalo.
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Incluye un cero del numerador (el cociente es $0$). Nunca incluyas un cero del denominador.
Cuando numerador y denominador comparten factores
Halle el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional: $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Halle el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional:
$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Determine el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático: $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determine el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determine el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:…
Determine el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$
Sumas de raíces y raíces anidadas
¿Por qué la intersección? Para sumar dos números, ambos deben existir al mismo tiempo. Si una raíz no es real en algún $x$, la suma no es un número real ahí.
Una raíz dentro de una desigualdad: $\sqrt{A}\ge B$
Para una función como $\sqrt{\sqrt{x+2}-x}$ debes resolver $\sqrt{x+2}\ge x$. Separa en dos casos según el signo del lado que no tiene raíz:
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Si $B<0$: la desigualdad $\sqrt{A}\ge B$ es verdadera automáticamente donde $\sqrt{A}$ exista, porque una raíz nunca es negativa.
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Si $B\ge 0$: ambos lados son no negativos, así que puedes elevar al cuadrado: $A\ge B^2$.
Halle el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces: $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Halle el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces:
$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Halle el dominio de definición de la función anidada: $f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Halle el dominio de definición de la función anidada:
$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Resuelva la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y expréselo en forma de intervalo.
Resuelva la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y expréselo en forma de intervalo.
Gráficas, rango y transformaciones
Algunos problemas llaman a estas funciones radicales y a su gráfica una semiparábola: es la mitad de una parábola acostada. Nosotros las llamamos simplemente funciones radicales.
¿Por qué se aplana? Para subir $y$ una unidad cada vez, $x$ debe saltar $0,1,4,9,16,\dots$ Cada paso requiere un salto mayor en $x$, así que la curva se inclina hacia la derecha.
| $x$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sqrt{x}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Usa estos puntos cómodos para graficar transformaciones. Para $f(x)=a\sqrt{x-b}+c$:
-
$b$ desplaza la gráfica horizontalmente: a la derecha si $b>0$, a la izquierda si $b<0$. El punto de inicio se mueve a $x=b$.
-
$c$ la desplaza verticalmente.
-
$a$ la estira o la comprime. Si $a<0$, además la refleja respecto a la recta horizontal que pasa por el punto de inicio.
¿Por qué? La raíz siempre es $\ge 0$. Al multiplicar por $a<0$ se vuelve $\le 0$, así que después de sumar $c$ las salidas son a lo sumo $c$, y el vértice es el punto más alto.
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escriba la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la…
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escriba la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba. ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?
Determine el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo: $f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Determine el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo:
$f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Observe la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el…
Observe la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el vértice de la semiparábola se encuentra en el punto $(2, 1)$ y pasa por el punto $(6, -3)$.
Intersecciones con los ejes e intersecciones entre gráficas
Para hallar dónde una gráfica radical corta a otra, iguala las dos expresiones. Elevar al cuadrado es el paso clave y puede crear soluciones extrañas.
Encuentre los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función: $f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Encuentre los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función:
$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Calcule los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función afín $g(x) = x + 1$.
Calcule los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función afín $g(x) = x + 1$.
Inversa de una función radical
Para hallar $f^{-1}$: escribe $y=f(x)$, intercambia $x$ y $y$, y despeja la nueva $y$. Recuerda que el dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y el rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$.
Cuando el radicando es cuadrático
Una función como $\sqrt{x^2-2x}$ no es uno a uno en todo su dominio (la gráfica es simétrica respecto a $x=1$), así que primero debes restringirla a un lado.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determine su función inversa $f^{-1}(x)$ e indique el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determine su función inversa $f^{-1}(x)$ e indique el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcule su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indique claramente el…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcule su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indique claramente el dominio y recorrido de la función inversa obtenida.
Radicales como modelos
Siempre que una cantidad depende del cuadrado de otra y despejas la segunda, aparece una raíz: el radio a partir de un área, el tiempo de una caída, el periodo de un péndulo.
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Exprese el radio en función del área, $r(A)$, e indique el dominio de…
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Exprese el radio en función del área, $r(A)$, e indique el dominio de definición válido en este contexto geométrico.
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en pies.…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en pies. Calcule la longitud necesaria para que el periodo sea exactamente de $2$ segundos e indique el dominio teórico de la función $T(L)$ en este contexto físico.
El costo de producción $C(x)$, en dólares, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por…
El costo de producción $C(x)$, en dólares, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determine el dominio válido para la función de costos y calcule cuántas piezas se han fabricado si el costo total ha ascendido a $\$4900$.
El dominio en contexto y el comportamiento en los extremos
En un problema de modelado, el dominio viene de dos fuentes: el álgebra (dónde existe la fórmula) y la situación (qué valores tienen sentido). Toma la intersección. Luego observa qué hace la función cerca de cada extremo.
Para una función de ganancia $B(x)=I(x)-C(x)$, el dominio es la intersección de los dominios de $I$ y $C$, intersectada con lo que exija el contexto (por ejemplo $x\ge 0$). Para decidir si hay ganancia o pérdida en un $x$ dado, calcula $B(x)$: positivo significa ganancia y negativo significa pérdida.
¿Qué pasa cerca de un extremo?
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío (aproximadamente $3 \cdot 10^8$ m/s). Determine el dominio de la función $\gamma(v)$ e interprete físicamente qué ocurre con la función cuando $v$ se acerca a los extremos de dicho dominio.
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$.…
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Exprese el perímetro del rectángulo $P(x)$ en función de la coordenada $x$ del vértice situado en el primer cuadrante. Determine el dominio válido de $P(x)$ en este contexto geométrico y calcule su valor para $x = 3$.
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de dólares, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen…
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de dólares, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados por $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ y $C(x) = 2x + 5$. Determine el dominio de la función beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ en el contexto del problema y calcule si la empresa obtiene ganancias o pérdidas al fabricar $15$ toneladas.
Volvemos al principio: tu calculadora mostró ERR: NONREAL ANS para $\sqrt{5-8}$ porque el radicando $-3$ es negativo, así que $5-8$ queda fuera del dominio de una raíz de índice par. Ahora puedes hallar exactamente qué valores aceptaría la calculadora.