Tablas y gráficas de funciones
Tu maestro dice: "Traza $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el examen corto. Sin Desmos". Podrías sustituir valores de $x$ al azar y esperar lo mejor. Pero ¿qué valores te mostrarán realmente la forma de la gráfica? Elegir bien los puntos es la mitad del trabajo de graficar.
Cómo construir una tabla: ¿qué puntos importan?
Una tabla de valores empareja entradas con salidas: para cada $x$ calculas $f(x)$ y marcas el punto $(x, f(x))$. A $f(a)$ a veces se le llama la imagen de $a$. Es simplemente la salida.
En una función lineal $f(x) = mx + b$, dos puntos determinan la recta. Usa un tercero para comprobar. Incluye siempre $x = 0$, que da la intersección con el eje $y$, $b$.
En una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, la gráfica es una parábola simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su vértice. Encuentra el vértice y luego toma puntos a cada lado.
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$: a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$. b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano…
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:
- a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
- b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$: a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla. b) Dibuja la gráfica de la…
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:
- a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
- b) Dibuja la gráfica de la función e identifica las coordenadas de su vértice.
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes. b) Crea una tabla de…
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
- a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes.
- b) Crea una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
- c) Representa gráficamente la parábola.
Modelos lineales y diferencias en una tabla
Las situaciones reales con una cantidad inicial fija y una razón constante son lineales. Un gimnasio cobra $\$20$ de inscripción más $\$15$ al mes: $C(m) = 20 + 15m$. La pendiente $15$ es la razón de cambio, y la intersección con el eje $y$, $20$, es el valor inicial.
También puedes reconocer el tipo de función a partir de una tabla, cuando $x$ aumenta el mismo paso cada vez.
Una vez que tienes la fórmula, puedes responder preguntas como "¿cuándo llega el costo a $\$155$?" igualando la fórmula a $155$: $20 + 15m = 155$, así que $15m = 135$ y $m = 9$ meses.
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A…
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtén su expresión analítica $y = f(x)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ |
El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 2 + 1.5t$, donde $t$ es el tiempo en horas. a) Haz una tabla de…
El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 2 + 1.5t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Haz una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representa gráficamente la función en ese intervalo.
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos. a) ¿Cuál…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.
- a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
- c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?
Modelos cuadráticos y su máximo
Las fórmulas cuadráticas modelan una pelota en vuelo, una ganancia o el área de un rectángulo con una cantidad fija de cerca. En cada caso, el vértice responde la pregunta "¿cuál es el máximo (o el mínimo)?".
Cómo hallar una cuadrática a partir de tres puntos
Si conoces tres puntos, sustituye cada uno en $y = ax^2 + bx + c$ para obtener un sistema de tres ecuaciones y resuélvelo por eliminación.
El dominio en contexto
Una parábola continúa para siempre, pero una situación real no. Un jardín rectangular cercado por sus cuatro lados con $40$ pies de cerca tiene ancho $w$ y largo $20 - w$ (el perímetro es $2w + 2(20 - w) = 40$), así que $A(w) = w(20 - w) = -w^2 + 20w$. El vértice está en $w = 10$ con $A = 100$ pies², pero solo tiene sentido $0 < w < 20$, porque ambos lados deben ser positivos. Conserva solo esa parte de la gráfica.
El beneficio mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modeliza mediante la función…
El beneficio mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modeliza mediante la función $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.
- a) Encuentra los puntos de equilibrio (producción para la cual el beneficio es cero).
- b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
- c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar el beneficio y de cuánto es dicho beneficio máximo?
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$. a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para…
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.
- a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Con la expresión analítica obtenida, calcula el vértice y construye una tabla de valores para representar la parábola.
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres…
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres lados.
- a) Expresa el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
- b) Determina el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
- c) Construye una tabla de valores y utilízala para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.
Funciones radicales
En $f(x) = \sqrt{\ \ }$ de una expresión, el radicando debe ser al menos $0$ (no se puede sacar una raíz cuadrada real de un número negativo). Resuelve "radicando $\ge 0$" para obtener el dominio y empieza tu tabla en el extremo.
Las expresiones como $\sqrt{r^2 - x^2}$ dan una semicircunferencia. Para $h(x) = \sqrt{4 - x^2}$, resuelve $4 - x^2 \ge 0$: el dominio es $[-2, 2]$. Entonces $h(-2) = 0$, $h(0) = 2$, $h(2) = 0$ y $h(\pm 1) = \sqrt{3} \approx 1.73$. La gráfica es la mitad superior de una circunferencia de radio $2$, así que el rango es $[0, 2]$.
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$: a) Determina analíticamente su dominio. b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para…
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:
- a) Determina analíticamente su dominio.
- b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para esbozar la gráfica.
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$. a) Calcula analíticamente su dominio de definición. b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$. c)…
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.
- a) Calcula analíticamente su dominio de definición.
- b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
- c) Representa gráficamente la función e indica cuál es su recorrido.
Funciones de valor absoluto
El valor absoluto $|u|$ es la distancia de $u$ a $0$. Como definición por partes, $|u| = u$ si $u \ge 0$ y $|u| = -u$ si $u < 0$. Así, la gráfica de $y = |\,\text{expresión}\,|$ es la gráfica de la expresión con cada parte negativa reflejada por encima del eje $x$.
La gráfica tiene una esquina donde la expresión de adentro es igual a $0$, así que incluye siempre ese punto en tu tabla.
Cuando la expresión de adentro es cuadrática, determina dónde es positiva o negativa. Para $h(x) = |x^2 - 1|$: la expresión de adentro cumple $x^2 - 1 \ge 0$ cuando $x \le -1$ o $x \ge 1$. Entonces
$$h(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le -1 \text{ o } x \ge 1 \\ -x^2 + 1 & \text{si } -1 < x < 1 \end{cases}$$Las intersecciones con el eje $x$ son $\pm 1$ y la intersección con el eje $y$ es $h(0) = 1$.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$: a) Evalúa la función en los puntos $x = 0, 2, 2.5, 3, 5$ y construye una tabla de valores. b) Representa gráficamente…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:
- a) Evalúa la función en los puntos $x = 0, 2, 2.5, 3, 5$ y construye una tabla de valores.
- b) Representa gráficamente la función.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$: a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto. b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:
- a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
- b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.
- c) Construye una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuja su gráfica.
Funciones racionales: intersecciones y valores prohibidos
Para una función racional $f(x) = \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}$:
Cerca de un valor prohibido, las salidas se hacen enormes. Eso es una asíntota vertical. Cuando $|x|$ se hace enorme, las salidas se acercan a una altura, una asíntota horizontal. Ninguna es parte de la gráfica; son guías.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$: a) Determina su dominio. b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la…
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:
- a) Determina su dominio.
- b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1.9, 1.99, 2.1, 2.01$).
- c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?
Funciones definidas por partes y continuidad
En una gráfica, un punto que pertenece a una parte se marca con un círculo cerrado. Un punto al que la parte se acerca pero que no incluye se marca con un círculo abierto. Una función es continua en un corte si puedes dibujar pasando por él sin levantar el lápiz: ambas partes deben encontrarse en el mismo punto.
Cómo hacer continua una función
Para conectar dos partes en $x = a$, iguala sus valores en $a$ y resuelve para la incógnita.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ a) Construye una tabla de valores…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
- a) Construye una tabla de valores evaluando la función en $x = -2, 0, 0.99, 1, 2, 3$.
- b) Representa gráficamente la función e indica si es continua en $x = 1$.
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$: $f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ a) Halla el valor…
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
- a) Halla el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
- b) Con el valor de $k$ hallado, construye una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboza la gráfica de la función.
Funciones exponenciales
Una función exponencial tiene la forma $f(x) = a \cdot b^x$ con $b > 0$ y $b \ne 1$. El número $a$ es la intersección con el eje $y$ (el valor en $x = 0$) y $b$ es el factor de crecimiento.
-
Si $b > 1$, la función muestra crecimiento.
-
Si $0 < b < 1$, la función muestra decaimiento.
El eje $x$ ($y = 0$) es una asíntota horizontal.
Las funciones lineales suman la misma cantidad en cada paso; las funciones exponenciales multiplican por el mismo factor en cada paso. En una tabla, los cocientes constantes $\dfrac{y_{\text{siguiente}}}{y}$ indican una función exponencial.
Vida media
El decaimiento radiactivo se escribe $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{t/T}$, donde $M_0$ es la cantidad inicial y $T$ es la vida media, el tiempo que tarda en desaparecer la mitad de la cantidad. El exponente $t/T$ cuenta cuántas vidas medias han pasado. Por ejemplo, con $80$ oz y $T = 10$ días, las cantidades en $t = 0, 10, 20, 30$ son $80, 40, 20, 10$ oz.
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde…
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Construye una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?
La masa $M(t)$ en onzas de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$…
La masa $M(t)$ en onzas de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.
Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:
- a) Calcula el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboza la gráfica.
Funciones logarítmicas e inversas
La función $y = \log_b x$ responde la pregunta "¿qué exponente da $x$ a partir de la base $b$?". Es decir, $y = \log_b x$ significa $b^y = x$. Los logaritmos deshacen las exponenciales.
Cómo graficar un logaritmo
En $\log_b(\text{expresión})$, el argumento debe ser positivo. Al igualarlo a $0$ se obtiene la asíntota vertical. Para construir una tabla, elige $x$ de modo que el argumento sea una potencia de $b$: $\ldots, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \ldots$ para base $2$.
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$: a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical. b) Construye una tabla de valores…
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:
- a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
- b) Construye una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
- c) Representa la gráfica de la función.
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$,…
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.
- a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construye una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
- b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
- c) Escribe la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.
Cómo leer información en una gráfica
No siempre vas a construir una gráfica. Muchas veces tendrás que leer una que ya está dibujada. Usa esta lista de verificación:
| Pregunta | Dónde mirar |
|---|---|
| Dominio | los valores de $x$ que cubre la gráfica (de izquierda a derecha) |
| Rango | los valores de $y$ que cubre la gráfica (de abajo hacia arriba) |
| $f(a)$ | ve a $x = a$ y lee la altura |
| Intersecciones | donde la gráfica toca los ejes |
| Creciente / decreciente | de izquierda a derecha, ¿la gráfica sube o baja? |
| Asíntotas | rectas a las que la gráfica se acerca cada vez más (una asíntota horizontal a veces puede cortarse) |
Tendencias y asíntotas
Una gráfica puede aplanarse. Supón que un café a $190$ °F se enfría en un cuarto a $70$ °F.
La gráfica es decreciente y se aplana: con el paso del tiempo, la temperatura se acerca a $70$ °F. La recta $y = 70$ es una asíntota horizontal. Su significado: el café se enfría hacia la temperatura ambiente y nunca baja de ella. En un modelo como este, la gráfica se acerca cada vez más a $y = 70$ sin alcanzarlo.
Cómo escribir una fórmula a partir de una gráfica racional
Para $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, la gráfica te dice:
-
asíntota vertical en $x = -\dfrac{d}{c}$ (el denominador es $0$),
-
asíntota horizontal en $y = \dfrac{a}{c}$ (cociente de los coeficientes principales),
-
intersección con el eje $x$ en $x = -\dfrac{b}{a}$ (el numerador es $0$).
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos: A partir de la gráfica, determina: a) El dominio y el recorrido de la función. b) El valor…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:
A partir de la gráfica, determina:
- a) El dominio y el recorrido de la función.
- b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve. A…
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.
A partir de la gráfica:
- a) Indica la temperatura inicial del café.
- b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
- c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$: A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos…
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:
A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de corte):
- a) Determina el dominio y el recorrido de la función.
- b) Deduce la expresión analítica de la función $f(x)$.
Resumen
Volvamos al inicio: para trazar $x^2 - 6x + 8$ sin Desmos, encuentra el vértice $(3, -1)$, las intersecciones $(0, 8)$, $(2, 0)$, $(4, 0)$ y un punto a cada lado, y luego dibuja una curva suave.