Estás parado en la orilla del lago Míchigan y hay una boya flotando en el agua. No puedes caminar sobre el agua para medir qué tan lejos está. Pero sí puedes medir ángulos desde dos puntos de la orilla. ¿Es suficiente para hallar la distancia? Al final de esta página sabrás que sí.
Cómo elegir la ley adecuada
Un triángulo oblicuo es un triángulo sin ángulo recto. Resolver un triángulo significa hallar sus tres lados y sus tres ángulos. Usamos la notación habitual: el ángulo $A$ es opuesto al lado $a$, el ángulo $B$ es opuesto al lado $b$ y el ángulo $C$ es opuesto al lado $c$.
Tienes dos herramientas. Ambas salen de las ideas de los triángulos rectángulos que ya conoces.
La ley de los senos necesita una pareja (un ángulo y su lado opuesto). La ley de los cosenos necesita el ángulo entre dos lados conocidos o los tres lados. Fíjate en los datos y la elección es casi automática.
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En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ pulgadas y $b = 8$ pulgadas, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcule la longitud del lado $c$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ pulgadas y $b = 8$ pulgadas, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcule la longitud del lado $c$.
Resolver un triángulo suele requerir dos pasos: una ley para hallar un lado o un ángulo, y luego la otra ley (o la suma de ángulos $A+B+C=180^\circ$) para terminar.
Un triángulo isósceles se resuelve igual. Sus dos ángulos de la base son iguales, así que un ángulo de la base te da los tres ángulos, y un lado te da el resto con la ley de los senos.
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En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ pulgadas,…
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ pulgadas, halle la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ pies y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determine la longitud de los lados iguales…
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ pies y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determine la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ pulgadas y $10$ pulgadas, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcule la longitud de la diagonal mayor del…
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ pulgadas y $10$ pulgadas, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcule la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Supón que conoces dos lados y un ángulo que no está entre ellos (LLA). Imagina el lado $b$ sobre el suelo y el ángulo $A$ abriéndose hacia arriba. El lado $a$ es como un brazo giratorio de longitud fija. Puede quedarse corto, tocar el rayo o cruzarlo en dos puntos.
Para resolver LLA, usa la ley de los senos para obtener $\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}$ y luego cuenta las posibilidades.
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En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ pies, $b = 8$ pies y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcule la medida del ángulo $B$.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ pies, $b = 8$ pies y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcule la medida del ángulo $B$.
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ pulgadas y el segundo mide $35$ pulgadas. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base…
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ pulgadas y el segundo mide $35$ pulgadas. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcule las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.
Área, fórmula de Herón y circunferencias de un triángulo
Si conoces dos lados y el ángulo entre ellos, no necesitas hallar primero una altura.
Cuando conoces los tres lados y ningún ángulo, usa la fórmula de Herón.
Ese segundo hecho es la ley de los senos extendida: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ Así que si conoces un lado y su ángulo opuesto, conoces el circunradio. Por ejemplo, con $b=12$ y $B=60^\circ$ obtienes $2R=\dfrac{12}{\sin60^\circ}=8\sqrt3$, así que $R=4\sqrt3\approx6.93$.
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Halle el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ pulgadas, $c = 20$ pulgadas y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Halle el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ pulgadas, $c = 20$ pulgadas y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ pulgadas y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ pulgadas y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ pulgadas, $b=14$ pulgadas y $c=15$ pulgadas, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de…
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ pulgadas, $b=14$ pulgadas y $c=15$ pulgadas, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcule el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtenga los valores exactos de $R$ y $r$.
Los topógrafos, los pilotos y los capitanes de barco hallan distancias que no pueden medir directamente construyendo un triángulo con ángulos y una longitud medida. Esto se llama triangulación.
Las direcciones suelen darse como rumbos. Un rumbo de $\text{N}\,40^\circ\,\text{E}$ significa que miras al norte y giras $40^\circ$ hacia el este. El ángulo entre dos trayectorias que salen del mismo punto es la diferencia de sus direcciones. Traza una línea norte en cada punto y usa que las líneas norte son paralelas, así que los ángulos alternos internos son iguales.
Ahora volvamos a la boya.
Así que una longitud medida y dos ángulos bastan para ubicar la boya. La misma idea construye un mapa entero: mide con cuidado una línea de base y cada punto nuevo es otro triángulo que comparte un lado con el anterior.
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Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$…
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcule la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el norte a una velocidad constante de $800$ mph. El avión 2 se encuentra en…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el norte a una velocidad constante de $800$ mph. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ millas exactas al noreste ($45^\circ$ respecto al norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determine el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.
Para hallar la altura de algo a lo que no puedes subir, mide el ángulo de elevación (medido hacia arriba desde la horizontal) desde dos puntos alineados con su base. Las dos visuales, más la distancia entre ellas, forman un triángulo que puedes resolver.
Un dron que mira hacia abajo a dos ciudades usa un ángulo de depresión, que también se mide desde la horizontal. Por ser ángulos alternos internos, es igual al ángulo de elevación desde el suelo hacia el dron. Una vez resuelto el triángulo, la altitud es simplemente $\text{lado}\cdot\sin(\text{ángulo})$ en un triángulo rectángulo.
El mismo método sirve para objetos inclinados. Para hallar el ángulo entre dos rectas que parten del mismo punto, compara cuánto se inclina cada una respecto a la horizontal. Por ejemplo, un panel inclinado $35^\circ$ sobre un techo inclinado $15^\circ$ forma un ángulo de $20^\circ$ con el techo. Un segmento vertical forma $90^\circ$ con la horizontal, así que forma $90^\circ+15^\circ=105^\circ$ con la parte del techo que baja. Marca todos los ángulos en un dibujo antes de elegir una ley.
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Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$.…
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ pies en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcule la altura del aerogenerador.
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ millas entre sí. Los…
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ millas entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcule la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.
Un panel solar de $2$ pies de longitud se va a instalar sobre un techo plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su…
Un panel solar de $2$ pies de longitud se va a instalar sobre un techo plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, el panel debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcule la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior del panel para unirlo con el techo.
A veces el triángulo no está dibujado, pero ahí está.
Fuerzas. Dos fuerzas que tiran del mismo objeto se suman como vectores: completa el paralelogramo y la diagonal es la resultante. Si las fuerzas forman un ángulo $\theta$ entre sí, el triángulo formado por las dos fuerzas y la resultante tiene un ángulo interior de $180^\circ-\theta$ entre los lados de las fuerzas. Como $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$, la ley de los cosenos da $$R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$$ con signo más.
Relojes. El ángulo entre las manecillas de un reloj es la diferencia de sus posiciones medidas desde las 12. El minutero se mueve $360^\circ\div60=6^\circ$ por minuto. La manecilla de las horas se mueve $360^\circ\div12=30^\circ$ por hora, es decir, $0.5^\circ$ por minuto, así que sigue avanzando entre los números.
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Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$…
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halle la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ pulgadas (el minutero) y $8$ pulgadas (la aguja horaria). Calcule la distancia exacta en pulgadas que separa las puntas de…
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ pulgadas (el minutero) y $8$ pulgadas (la aguja horaria). Calcule la distancia exacta en pulgadas que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Tenga en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.
Cualquier polígono se puede dividir en triángulos trazando diagonales, y puedes resolver cada triángulo por separado.
Un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio $R$ se divide en $n$ triángulos isósceles idénticos con dos lados $R$ y un ángulo central $\theta=\dfrac{360^\circ}{n}$.
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Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ pies, $BC = 40$ pies, $CD = 30$ pies y $DA = 60$ pies. Sabiendo que el…
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ pies, $BC = 40$ pies, $CD = 30$ pies y $DA = 60$ pies. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcule el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ pulgadas de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los…
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ pulgadas de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcule el perímetro y el área de dicho heptágono.
Cuando un lado se da como una expresión, o cuando conoces el área pero no un lado, plantea primero una ecuación y luego resuélvela.
Cuando se da el área, la fórmula $S=\tfrac12ab\sin C$ la convierte en una ecuación para un lado desconocido.
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Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ pulgadas. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantee…
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ pulgadas. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantee la ecuación correspondiente, halle el valor exacto de $x$ y calcule el perímetro del triángulo.
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ pulgadas, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ pulgadas$^2$. Plantee un…
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ pulgadas, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ pulgadas$^2$. Plantee un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigüe la medida de los ángulos $A$ y $C$.
Una bisectriz. La bisectriz del ángulo $C$ divide el triángulo $ABC$ en dos triángulos de área $\tfrac12a\,x\sin\tfrac C2$ y $\tfrac12b\,x\sin\tfrac C2$, donde $x$ es la longitud de la bisectriz. Su suma es el área total $\tfrac12ab\sin C$.
Un sólido. El ángulo diedro entre dos caras se mide en un plano perpendicular a su arista común. En una pirámide cuadrada, las caras laterales adyacentes se encuentran a lo largo de una arista lateral. Traza las perpendiculares desde los dos vértices vecinos de la base hasta esa arista. Por simetría se cruzan en un punto $P$, y el ángulo en $P$ es el ángulo diedro.
Una demostración. Las leyes de los senos y de los cosenos también sirven para demostrar otras identidades. Algunos problemas llaman a la siguiente la relación de proyección: en cualquier triángulo, $a=b\cos C+c\cos B$. Geométricamente, la altura desde $A$ divide el lado $a$ en dos partes: $c\cos B$ y $b\cos C$. Aquí tienes una demostración algebraica.
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Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ pulgadas, $b = 5$ pulgadas y $c = 8$ pulgadas. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el…
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ pulgadas, $b = 5$ pulgadas y $c = 8$ pulgadas. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcule la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ pies. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de…
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ pies. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantee la geometría de la sección transversal adecuada y calcule la altura total de la pirámide.
Demuestre geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (seno y coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones:…
Demuestre geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (seno y coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utilice esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
Volvamos a la boya: dos ángulos desde la orilla y una línea de base medida te dieron un triángulo con un lado y dos ángulos conocidos. La ley de los senos te dio entonces la distancia a la boya.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado