Distancias en el plano
El mapa de tu celular te ubica en el punto $(6, 4)$, medido en millas desde el centro de la ciudad. Una carretera recta sigue la recta $3x + 4y = 12$. ¿A qué distancia estás del punto más cercano de la carretera? Los mapas, los drones y las cortadoras láser resuelven este tipo de preguntas todo el tiempo. Las dos distancias de esta sección, de punto a punto y de punto a recta, salen del teorema de Pitágoras.
Distancia entre dos puntos
Toma dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$. Dibuja un cateto horizontal y uno vertical para formar un triángulo rectángulo. Los catetos miden $|x_2 - x_1|$ y $|y_2 - y_1|$, y el segmento $AB$ es la hipotenusa.
Cuando un problema pide la distancia exacta, deja un radical simplificado. Usa un decimal solo si el problema pide una aproximación.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en pies. Calcula el perímetro exacto…
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en pies. Calcula el perímetro exacto del panel.
Punto medio y distancia a los ejes
El punto medio de un segmento es el punto que está a la mitad entre los extremos. Sus coordenadas son los promedios de las coordenadas de los extremos.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la recta. Cualquier otro camino hasta la recta es más largo.
Si la respuesta tiene un radical en el denominador, racionalízalo: $\dfrac{7}{\sqrt2} = \dfrac{7\sqrt2}{2}$.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
El punto más cercano de una recta
A veces no basta la distancia: necesitas saber dónde está el punto más cercano. Ese punto es el pie de la perpendicular: el lugar donde la perpendicular desde $P$ corta la recta.
El triángulo $PFQ$ tiene un ángulo recto en $F$, así que $PQ$ es la hipotenusa y es más larga que el cateto $PF$. Por eso la perpendicular da la distancia mínima.
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las…
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las coordenadas $S(2, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa del satélite.
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de…
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de emergencia. Determina en qué punto exacto de su trayectoria el vehículo estará a la mínima distancia de la base y calcula dicha distancia.
Distancia entre rectas paralelas
Las rectas paralelas se mantienen a la misma distancia en todas partes. Por eso basta elegir un punto cualquiera de una recta y hallar su distancia a la otra.
Si un problema te da un punto de la segunda recta (por ejemplo, la posición de un barco) en lugar de su ecuación, no necesitas la ecuación. Basta hallar la distancia de ese punto a la primera recta.
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma…
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma dirección. Calcula la distancia mínima que separa ambas trayectorias.
Rectas a una distancia dada
Para hallar rectas paralelas a $r: Ax+By+C=0$ a una distancia $d$ de ella, conserva $A$ y $B$ y busca la nueva constante $C'$. El atajo da $\dfrac{|C' - C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = d$, así que
$$C' = C \pm d\sqrt{A^2+B^2}$$Siempre hay dos rectas así, una a cada lado de $r$.
Si la segunda recta viene con otros coeficientes (como $4x - 2y + 5 = 0$ junto a $2x - y + c = 0$), divide para igualarlos antes de usar el atajo.
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos…
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos cortes paralelos de seguridad a una distancia exacta de $10$ mm a cada lado del corte principal. Halla las ecuaciones generales de las rectas de los cortes de seguridad.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Puntos a una distancia dada y parámetros desconocidos
En los problemas de distancia aparecen dos incógnitas comunes.
Un punto de una recta a una distancia dada de otro punto. Escribe el punto como $(t, mt + b)$ usando la ecuación de la recta. Sustitúyelo en la fórmula de la distancia, eleva al cuadrado ambos lados y resuelve la ecuación cuadrática resultante.
Un coeficiente desconocido en la recta. Pon el parámetro en la fórmula de la distancia de un punto a una recta, iguálala a la distancia dada y eleva al cuadrado ambos lados. Es seguro porque ambos lados son no negativos.
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor…
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor sobre la tubería que diste exactamente $5$ unidades del centro de la plaza. Halla las coordenadas de las dos posibles ubicaciones del aspersor.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Área de un triángulo
Toma un lado como base. Su longitud sale de la fórmula de la distancia. La altura es la distancia del vértice opuesto a la recta que contiene ese lado. Entonces $\text{Área} = \tfrac12 \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$.
Para hallar la recta que pasa por dos puntos, calcula la pendiente $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, escribe $y - y_1 = m(x - x_1)$ y reacomódala como $Ax+By+C=0$.
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en millas.…
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en millas. Calcula el área exacta del terreno evaluando primero la longitud de la base $AB$ y luego la altura correspondiente desde el vértice $C$.
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo…
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo es de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base y de los dos lados iguales.
Puntos equidistantes y lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Los puntos equidistantes de dos puntos $P$ y $Q$ forman la mediatriz (perpendicular bisector) de $PQ$.
Para hallar un lugar geométrico, llama $(x, y)$ a un punto general, escribe la condición de distancia y eleva al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces.
Si conservas $y$ en lugar de hacerlo $0$, los mismos pasos dan $3x + y = 9$. Esa es la ecuación de toda la mediatriz, y pasa por el punto medio $(2, 3)$.
Cuando el lugar geométrico se define con una recta, usa $d(P, r) = \dfrac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ y eleva al cuadrado ambos lados. Un factor como "el doble de la distancia" también se eleva al cuadrado, así que se vuelve un factor de $4$.
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma…
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma distancia del pueblo $P(-2, 3)$ y del pueblo $Q(4, 1)$. ¿En qué coordenadas exactas debe situarse la antena?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto…
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto fijo $Q(0, 2)$. Simplifica la ecuación resultante.
Equidistantes de dos rectas: bisectrices de ángulos
Los puntos que están a igual distancia de dos rectas que se cortan están en las bisectrices (angle bisectors) de los ángulos que forman. Dos rectas que se cruzan determinan dos bisectrices.
Si un problema añade una segunda condición, intersecta las bisectrices con ella. Por ejemplo, con una circunferencia $x^2 + y^2 = 13$ y la bisectriz $y = 1 - x$: $x^2 + (1-x)^2 = 13$ da $2x^2 - 2x - 12 = 0$, así que $x = 3$ o $x = -2$. Los puntos son $(3, -2)$ y $(-2, 3)$.
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril para bicicletas que equidiste de…
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril para bicicletas que equidiste de ambas avenidas en todo momento. Halla las ecuaciones de las dos posibles trayectorias del carril para bicicletas (las bisectrices) y demuestra analíticamente que son perpendiculares.
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$,…
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$, y su distancia al origen de coordenadas es exactamente $5$ unidades.
Cuadrados y rombos
En un rombo (y en un cuadrado) las dos diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio, el centro $M$. El área es $\tfrac12 d_1 d_2$, donde $d_1$ y $d_2$ son las longitudes de las diagonales. En un cuadrado, $d_1 = d_2$.
Empieza con una prueba rápida: sustituye el vértice dado $A$ en la ecuación de la recta dada. Hay dos casos.
Caso 1: $A$ no está en la recta $r$ que contiene la otra diagonal. Sigue este plan:
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La diagonal que pasa por $A$ es perpendicular a $r$. Su centro $M$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $r$.
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El vértice opuesto es $C = 2M - A$, y $d_1 = AC = 2\,d(A, r)$.
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Obtén $d_2$ del área: $d_2 = \dfrac{2 \cdot \text{Área}}{d_1}$. En un cuadrado, $d_2 = d_1$.
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Los otros dos vértices están sobre $r$, a distancia $\tfrac{d_2}{2}$ de $M$ a cada lado.
Caso 2: $A$ está en la recta. Entonces el plan falla, y la razón es geométrica. La diagonal que pasa por $A$ corta a $r$ solo en el centro $M$. Si $A$ está en $r$, entonces $A = M$, pero un vértice nunca es el centro. Por lo tanto, la recta no puede contener la diagonal que no pasa por $A$. Para un rombo cuya segunda diagonal está en $r$, esto significa que no existe tal rombo. Para un cuadrado suele significar que la recta contiene la diagonal que sí pasa por $A$, y entonces $A$ es uno de los extremos de esa diagonal. El otro extremo puede deslizarse por la recta, así que describes la respuesta con un parámetro (mira el segundo ejemplo).
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta…
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta $d: x - y + 1 = 0$.
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 4 = 0$. Si el área del rombo es de…
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 4 = 0$. Si el área del rombo es de $20$ u$^2$, halla las coordenadas de los tres vértices restantes.
Volvamos al inicio: estás en $(6, 4)$ y la carretera es $3x + 4y - 12 = 0$. Entonces $d = \dfrac{|3(6) + 4(4) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{22}{5} = 4.4$ millas.