"Operaciones básicas: fracciones, exponentes y productos especiales"

Realice la siguiente operación combinada con números enteros, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones: $5 - 2 \cdot (4 - (-3)^2) + (-2)^3$.

Calcule y simplifique al máximo el resultado de la siguiente expresión con fracciones: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Resuelva la siguiente operación con fracciones anadas (fracción compleja), simplificando paso a paso desde el interior hacia el exterior: $\frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}}$.

Un tanque de agua para riego agrícola está lleno hasta sus $\frac{3}{5}$ partes. Si se extrae el equivalente a $\frac{1}{4}$ de la capacidad total del tanque para regar un terreno, determine qué fracción de la capacidad total del tanque queda aún con agua.

Una empresa tecnológica destina $\frac{2}{5}$ de su presupuesto anual a salarios del personal y $\frac{1}{3}$ del presupuesto restante a campañas de mercadeo. Si tras estas dos asignaciones aún le quedan $\$54000$ para otros gastos operativos, plantee las operaciones con fracciones necesarias para determinar a cuánto asciende el presupuesto total de la empresa.

Exprese el resultado como una única potencia utilizando las propiedades de la multiplicación y división de potencias con la misma base: $\frac{7^5 \cdot 7^{-3}}{7^4}$.

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión numérica, aplicando la definición de exponente negativo: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-1}$.

Simplifique la siguiente expresión algebraica aplicando las propiedades de las potencias y exprese el resultado final utilizando únicamente exponentes positivos: $(x^3 \cdot x^{-5})^2$.

Calcule y simplifique al máximo la siguiente expresión, prestando especial atención a los exponentes negativos y la jerarquía de operaciones: $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{-1}$.

Simplifique la siguiente expresión algebraica, agrupando las bases iguales y dejando el resultado final expresado exclusivamente con exponentes positivos: $\frac{(2a^{-2} b^3)^{-3}}{4a^4 b^{-5}}$.

Simplifique al máximo la siguiente expresión algebraica compleja, indicando el orden de las propiedades de las potencias utilizadas y dejando el resultado final sin exponentes negativos: $\left[ \frac{(x^2 y^{-1})^{-2} \cdot (x^{-3} y^2)^3}{(x y)^{-4}} \right]^{-1}$.

Simplifique la siguiente fracción numérica factorizando previamente sus términos en potencias de números primos: $\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5}{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2}$.

Simplifique la siguiente expresión numérica factorizando previamente las bases compuestas en números primos y aplicando las propiedades de las potencias: $\frac{18^4 \cdot 12^{-3}}{24^2 \cdot 9^{-2}}$.

Determine el valor del número entero $n$ para que la siguiente igualdad exponencial sea cierta, transformando todas las bases compuestas a potencias de base $2$: $\frac{4^n \cdot 8^3 \cdot 2^{-5}}{16^2} = 2^{10}$.

En un experimento de óptica física, la intensidad de una señal láser se reduce a su mitad cada vez que atraviesa un filtro atenuador. Si la señal original tiene una intensidad $I_0$ y atraviesa $5$ filtros consecutivos, y posteriormente se amplifica multiplicándose por un factor de $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$, exprese la intensidad final de la señal en función de $I_0$ usando una única potencia de base $2$.

La capacidad total de almacenamiento de un servidor de datos se estructura de la siguiente manera: $\frac{1}{8}$ de la capacidad total se reserva para el sistema operativo; de la capacidad restante, una fracción equivalente a $\left( \frac{3}{2} \right)^{-1}$ se destina a bases de datos, y el espacio que sobra se utiliza para copias de seguridad. Si las copias de seguridad ocupan exactamente $3 \cdot 2^{40}$ bytes, plantee y resuelva las operaciones necesarias para determinar la capacidad total del servidor, expresando el resultado como una potencia de base $2$.

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión numérica, detallando cada paso lógico y utilizando de forma combinada las propiedades de las fracciones, exponentes negativos e identidades notables: $\frac{\left( 1 - \frac{3}{5} \right)^{-2} + \left( \frac{5}{2} - 1 \right)^2}{\left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2}$.

Desarrolle las siguientes expresiones algebraicas utilizando las identidades notables correspondientes:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2x - 1)(2x + 1)$

El lado de un terreno cuadrado destinado a la instalación de paneles solares mide $3x - 2$ pies. Si se decide ampliar el terreno aumentando cada lado en $4$ pies, exprese el área del nuevo terreno y determine la diferencia de áreas entre el terreno nuevo y el antiguo, utilizando el desarrollo de identidades notables.

En el diseño de una pieza mecánica de precisión, se especifica que el área de una sección transversal rectangular debe responder a la fórmula $A = 16x^2 - 24x + 9$ milímetros cuadrados. Demuestre algebraicamente que esta área siempre corresponde a un cuadrado perfecto para cualquier valor real de $x$, y determine la expresión que define la longitud del lado de dicho cuadrado.

Demuestre rigurosamente, mediante manipulación algebraica, que la diferencia entre el cuadrado de la suma de dos números reales cualesquiera y el cuadrado de su diferencia es siempre igual a cuatro veces el producto de dichos números. Es decir, pruebe que $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

Dada la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{(x-y)^2}$, evalúe su valor exacto para $x = \frac{1}{2}$ e $y = -\frac{1}{3}$. Simplifique la expresión teóricamente antes de sustituir los valores para facilitar el cálculo numérico.

Realice la resta de las siguientes fracciones algebraicas y simplifique el resultado hasta obtener una única fracción irreducible. Aplique la factorización mediante identidades notables en los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo: $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}$.

Durante la resolución de un problema de cinemática, un estudiante ha realizado la siguiente simplificación algebraica: $\frac{x^2 + y^2}{x+y} = x+y$.

Explique mediante un contraejemplo numérico explícito por qué esta operación es incorrecta. A continuación, desarrolle la expresión $(x+y)^2$ para justificar algebraicamente el error cometido, e indique bajo qué condición única y excepcional sobre las variables $x$ e $y$ la afirmación del estudiante resultaría numéricamente cierta.