Radicales y exponentes racionales
Emma va a enviar un tubo para pósters desde una caja que mide $2$ ft por $3$ ft por $5$ ft. ¿Cuál es la varilla recta más larga que cabe dentro, de una esquina a la esquina opuesta? El teorema de Pitágoras da una raíz cuadrada, y la calculadora da un decimal largo. Un alumno de Precálculo debe poder escribir la respuesta exacta en su forma más simple y manipularla. En esta sección aprenderás cómo, con una sola idea: un radical es solo una potencia con exponente fraccionario.
Radicales como exponentes racionales
Este hecho convierte cada regla de los radicales en una regla de exponentes que ya conoces: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$, $(a^p)^q = a^{pq}$, $\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$.
En toda esta página, las variables representan números reales positivos. Así nunca nos preocupamos por raíces pares de números negativos. (Sin esta suposición, $\sqrt[4]{a^2}$ sería $\sqrt{|a|}$.)
Exprese en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifique al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan…
Exprese en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifique al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números reales positivos.
Determine si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifique su procedimiento utilizando exponentes…
Determine si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifique su procedimiento utilizando exponentes fraccionarios.
Simplificación de radicales
Un radical está en forma más simple cuando ningún factor del radicando es una potencia $n$-ésima perfecta y el índice es lo más pequeño posible. Algunos problemas dicen sacar factores del radical; eso es exactamente simplificar.
Un atajo para variables: divide el exponente entre el índice. El cociente sale y el residuo se queda dentro. Para $\sqrt{x^7}$, $7 \div 2 = 3$ residuo $1$, así que $\sqrt{x^7} = x^3\sqrt{x}$.
Potencia de un radical. $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$. Con exponentes, lo más fácil es multiplicar el exponente antes de simplificar.
Raíz de una raíz. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ porque $(a^{1/m})^{1/n} = a^{1/(mn)}$. Los índices se multiplican.
Extraiga todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.
Extraiga todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.
Calcule la potencia del siguiente radical y simplifique el resultado extrayendo todos los factores posibles (asuma variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.
Calcule la potencia del siguiente radical y simplifique el resultado extrayendo todos los factores posibles (asuma variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.
Simplifique la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.
Simplifique la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.
Reducción a índice común
¿Cómo comparas $\sqrt{3}$ y $\sqrt[3]{5}$? Tienen índices distintos, así que no puedes comparar los radicandos directamente. Escribe ambos con el mismo índice, usando el mcm de los índices.
El mismo truco permite multiplicar y dividir radicales de índices distintos: conviértelos a exponentes y suma o resta los exponentes.
Reduzca a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénelos de menor a mayor justificando su respuesta.
Reduzca a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénelos de menor a mayor justificando su respuesta.
Efectúe la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado:…
Efectúe la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado: $\frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.
Suma, resta y multiplicación de radicales
Multiplicación de radicales con el mismo índice: $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Multiplica los radicandos y luego simplifica.
Los productos especiales también funcionan con radicales. Trata cada radical como una variable. Recuerda que $(\sqrt{k})^2 = k$.
Realice las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado:…
Realice las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.
Multiplique los siguientes radicales del mismo índice y extraiga los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.
Multiplique los siguientes radicales del mismo índice y extraiga los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.
Desarrolle la siguiente expresión utilizando las identidades notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupe los términos semejantes:…
Desarrolle la siguiente expresión utilizando las identidades notables para el cuadrado de una resta y el producto de binomios, y agrupe los términos semejantes: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.
Racionalización de denominadores
Por convención, una respuesta simplificada no tiene radicales en el denominador. Racionalizar es lo que convierte $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Ambos son el mismo número, pero el segundo es más fácil de sumar, comparar y estimar a mano.
Tres términos. Agrupa dos de ellos para que el denominador tenga la forma $A - B$ y usa el conjugado $A + B$. Quizás tengas que racionalizar una segunda vez.
Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.
Racionalice el denominador de la siguiente expresión y simplifique el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.
Racionalice el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifique operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.
Racionalice el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifique operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.
Racionalice el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifique el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Racionalice el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifique el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.
Radicales en geometría y física
Los radicales aparecen siempre que una cantidad está elevada al cuadrado: el teorema de Pitágoras, el periodo de un péndulo y las leyes de energía y de escala. En estos problemas la respuesta debe ser exacta y simplificada, no un decimal redondeado.
Escalas con raíces. El periodo de un péndulo es $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$. Observa que $T$ es proporcional a $\sqrt{L}$. Si quieres que el periodo sea $k$ veces mayor, necesitas $\sqrt{L'} = k\sqrt{L}$, así que elevando al cuadrado ambos lados: $L' = k^2 L$.
Exponentes fraccionarios en leyes científicas. Muchas leyes de escala se ven como $R = kM^{3/4}$. Si la masa se multiplica por $c$, la cantidad se multiplica por $c^{3/4}$.
Volvamos al principio: la caja de Emma tiene aristas de $2$, $3$ y $5$ ft, así que la varilla más larga mide $D = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$ ft. Como $38 = 2 \cdot 19$ no tiene factores cuadrados perfectos, $\sqrt{38}$ ft ya está en su forma más simple. Eso es aproximadamente $6.16$ ft.
El período $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un…
El período $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un ingeniero necesita que el nuevo período sea exactamente $\sqrt{2} + 1$ veces el período original, ¿por qué factor exacto debe multiplicar la longitud $L$ original? Exprese su razonamiento algebraicamente desarrollando el binomio al cuadrado.
En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ pies, $\sqrt{3}$ pies y $\sqrt{5}$ pies. Calcule el valor exacto…
En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ pies, $\sqrt{3}$ pies y $\sqrt{5}$ pies. Calcule el valor exacto de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) y el volumen del mismo, expresando ambos resultados en su forma radical más simple.
Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es…
Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es una constante. Si un animal $A$ tiene una masa exactamente $27$ veces mayor que la de un animal $B$, determine la razón exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilizando propiedades de los radicales y extrayendo factores.
Retos de geometría: alturas y espirales
Dos figuras clásicas necesitan el teorema de Pitágoras una y otra vez, y las respuestas son radicales anidados o crecientes.
Alturas de un triángulo y de un trapecio isósceles
Si un triángulo isósceles tiene lados iguales $\ell$ y base $b$, la altura sobre la base la divide por la mitad, así que $h = \sqrt{\ell^2 - \left(\tfrac{b}{2}\right)^2}$.
Un trapecio isósceles con bases $B > b$ y lados no paralelos $\ell$ tiene dos triángulos rectángulos en los extremos. Cada uno tiene un cateto horizontal $\dfrac{B-b}{2}$ e hipotenusa $\ell$, así que $h = \sqrt{\ell^2 - \left(\tfrac{B-b}{2}\right)^2}$.
Un pentágono regular de lado $L$ tiene sus cinco diagonales iguales a $D = L\Phi$, donde $\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la razón áurea. Una diagonal horizontal lo corta en un triángulo isósceles arriba (lados $L$, base $D$) y un trapecio isósceles abajo (bases $D$ y $L$, lados $L$). La altura del pentágono es la suma de las dos alturas.
El truco de elevar al cuadrado es el mismo que verás en la sección de retos: para simplificar una suma de dos radicales, elévala al cuadrado y deja que el término cruzado $2h_1h_2$ se simplifique.
La espiral de Teodoro
Empieza con un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden $a$. Cada nuevo triángulo rectángulo usa la hipotenusa anterior como un cateto y un cateto nuevo de longitud $a$. El área de un triángulo rectángulo es $\tfrac{1}{2}\cdot\text{cateto}\cdot\text{cateto}$.
Sea $h_n$ la hipotenusa del $n$-ésimo triángulo. Entonces $h_n^2 = h_{n-1}^2 + a^2$, y partiendo de $h_1^2 = 2a^2$ cada paso suma $a^2$:
$$h_n = a\sqrt{n+1}$$El $n$-ésimo triángulo tiene catetos $h_{n-1} = a\sqrt{n}$ y $a$. Su área y su perímetro son
$$A_n = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{n} = \dfrac{a^2\sqrt{n}}{2}, \qquad P_n = a\left(\sqrt{n} + 1 + \sqrt{n+1}\right).$$En un pentágono regular de lado $L = 2$ cm, la longitud de cualquier diagonal $D$ está relacionada con el lado mediante el número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$,…
En un pentágono regular de lado $L = 2$ cm, la longitud de cualquier diagonal $D$ está relacionada con el lado mediante el número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cumpliendo $D = L \cdot \Phi$. Trace una diagonal horizontal para dividir el pentágono en un triángulo isósceles superior y un trapecio isósceles inferior. Utilizando el teorema de Pitágoras, calcule el valor exacto de la altura total $h$ del pentágono sumando las alturas de ambas figuras. Exprese el resultado final de la forma más simplificada posible.
Considere la espiral de Teodoro, construida mediante triángulos rectángulos contiguos. El primer triángulo tiene catetos iguales de longitud $a$. El enésimo triángulo…
Considere la espiral de Teodoro, construida mediante triángulos rectángulos contiguos. El primer triángulo tiene catetos iguales de longitud $a$. El enésimo triángulo tiene como catetos la hipotenusa del triángulo anterior y un nuevo cateto de longitud $a$. Si el área del sexto triángulo de la secuencia es exactamente $A_6 = 12\sqrt{6}$ cm², calcule el valor exacto del parámetro $a$ y, con él, determine el perímetro exacto del tercer triángulo de la espiral simplificando los radicales.
Reto: radicales anidados y conjugados ingeniosos
Tres técnicas cubren los problemas más difíciles.
1. Radicales anidados con variables. Convierte todo a exponentes, trabaja de adentro hacia afuera y lleva el exponente acumulado de cada variable.
2. Elevar al cuadrado para desenmascarar una suma de radicales. Para mostrar que algo como $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ es un número agradable, iguálalo a $x$, elévalo al cuadrado y usa $(p \pm q)^2 = p^2 \pm 2pq + q^2$. El término cruzado $2\sqrt{AB}$ suele simplificarse porque $AB$ es una diferencia de cuadrados.
3. Fracciones con radicales conjugados. Combina sobre un denominador común. El denominador se vuelve una diferencia de cuadrados y los radicales desaparecen.
Simplifique al máximo la siguiente expresión con radicales anidados, reduciéndola a un único radical y extrayendo todos los factores posibles (asuma que las variables…
Simplifique al máximo la siguiente expresión con radicales anidados, reduciéndola a un único radical y extrayendo todos los factores posibles (asuma que las variables son reales positivos):
$\sqrt[4]{\frac{x^3 y}{z} \sqrt[3]{\frac{z^2}{x y^2} \sqrt{\frac{x}{y}}}}$.
Demuestre algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Plantee la ecuación $x^2$ y…
Demuestre algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Plantee la ecuación $x^2$ y utilice las identidades notables para resolverlo.
Simplifique completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales…
Simplifique completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales conjugados:
$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.