Funciones racionales
Aaliyah empieza un negocio de camisetas personalizadas. La plancha de calor y la preparación cuestan $\$400$, y cada camiseta cuesta $\$6$ en materiales. Mientras más camisetas imprime, menos de esos $\$400$ le toca pagar a cada una, pero su costo promedio por camiseta nunca baja de cierto piso, sin importar cuántas imprima. Un valor al que una función se acerca cada vez más sin alcanzarlo nunca, y lugares donde la función simplemente "se rompe": ese es el mundo de las funciones racionales.
Dominio de una función racional
Para hallar el dominio, iguala el denominador a $0$, resuelve y excluye esos valores. Casi siempre basta con factorizar.
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$x^2 + 1$ nunca es $0$ (un cuadrado nunca es negativo), así que no se excluye nada y el dominio son todos los números reales.
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$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ es $0$ solo en $x = -3$.
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$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ es $0$ en $x = 2$ y $x = 3$.
Esta es la gráfica de $f(x) = \dfrac{5x-2}{x^2-9}$. Observa qué pasa cerca de $x = -3$ y $x = 3$.
Calcule el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Calcule el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.
Determine el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Determine el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.
Intersecciones, signo y resolución de $f(x) = c$
Para hallar la intersección con el eje $y$, calcula $f(0)$ (si $0$ está en el dominio). Para hallar las intersecciones con el eje $x$, resuelve $P(x) = 0$ y comprueba que esas soluciones no anulen también el denominador.
¿Por qué? Entre dos números "críticos" consecutivos ni $P$ ni $Q$ pueden ser cero, así que cada uno conserva un signo constante.
Para resolver $f(x) = c$, multiplica ambos lados por el denominador, resuelve la ecuación resultante y comprueba que la respuesta esté en el dominio.
Halle las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Halle las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.
Encuentre el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Encuentre el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.
Estudie el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde…
Estudie el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde toma valores negativos.
Simetría: funciones racionales pares e impares
Antes de graficar, revisa la simetría. Si $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ del dominio, $f$ es par (simétrica respecto al eje $y$). Si $f(-x) = -f(x)$, es impar (simétrica respecto al origen). Si no se cumple ninguna, no hay simetría de este tipo.
El dominio también debe ser simétrico: si $a$ está en el dominio, $-a$ también debe estarlo.
Un buen atajo: par sobre par es par, impar sobre par es impar, y par sobre impar es impar.
Compruebe analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Compruebe analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.
Asíntotas verticales y huecos
Huecos. Si un factor se cancela, obtienes un hueco, no una asíntota. La coordenada $y$ del hueco sale de la función simplificada.
Asíntotas con un parámetro. Si el denominador tiene un parámetro, usa el discriminante para ver cuándo tiene ceros reales. Por ejemplo, sea $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - kx + 4}$. El discriminante es $k^2 - 16$. Si $-4 < k < 4$, es negativo, el denominador nunca se anula y no hay asíntotas verticales. Si $k = \pm 4$, hay un cero doble y una asíntota. Si $|k| > 4$, hay dos asíntotas. Comprueba siempre que el numerador no se anule en el mismo lugar.
Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.
Analice detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determine su dominio, simplifique la expresión algebraica indicando para qué valores es…
Analice detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determine su dominio, simplifique la expresión algebraica indicando para qué valores es válida la simplificación, halle las ecuaciones de sus asíntotas y explique qué fenómeno gráfico se produce exactamente en el punto de abscisa $x = 2$.
Discuta, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determine el intervalo de valores…
Discuta, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determine el intervalo de valores de $k$ para los cuales la función carece por completo de asíntotas verticales.
Asíntotas horizontales y oblicuas
¿Por qué? Cuando $x \to \pm\infty$ dominan los términos de mayor grado. Con grados iguales queda la razón de los coeficientes principales. Si el numerador tiene un grado más, la división da un cociente lineal $mx + b$ más un término residual que tiende a $0$.
Por ejemplo, $\dfrac{3x^2+1}{x^2+5}$ tiene asíntota horizontal $y = 3$, y $\dfrac{x+1}{x^2+1}$ tiene asíntota horizontal $y = 0$.
La fracción sobrante también te dice de qué lado de la asíntota está la curva. Aquí $f(x) - (2x-3) = \dfrac{1}{x-1}$. Para $x > 1$ es positiva, así que la curva está arriba de la recta cuando $x \to +\infty$. Para $x < 1$ es negativa, así que la curva está abajo de la recta cuando $x \to -\infty$.
Halle la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Halle la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determine su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudie la posición de la curva respecto a su…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determine su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudie la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Todo junto: análisis de una función racional
Cuando te pidan analizar una función racional, sigue esta lista:
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Factoriza el numerador y el denominador.
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Halla el dominio y los huecos (factores cancelados).
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Halla las intersecciones con los ejes.
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Halla las asíntotas verticales (ceros del denominador que permanecen).
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Halla la asíntota horizontal u oblicua.
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Haz una tabla de signos.
Trabajar al revés: hallar parámetros
Si conoces las asíntotas, puedes hallar coeficientes desconocidos. Para $f(x) = \dfrac{ax+3}{2x+b}$ con asíntota vertical $x = 4$ y asíntota horizontal $y = 3$:
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La asíntota horizontal es $\dfrac{a}{2} = 3$, así que $a = 6$.
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El denominador es $0$ en $x = 4$: $2(4) + b = 0$, así que $b = -8$.
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Comprueba que el numerador no sea $0$ en $4$: $6(4) + 3 = 27 \neq 0$. ✓
Para una asíntota oblicua, escribe el numerador como (cociente)(denominador) + residuo. Supón que $f(x) = \dfrac{ax^2+bx+c}{x-2}$ tiene asíntota oblicua $y = 3x + 4$ y pasa por $(3, 10)$. Entonces $ax^2 + bx + c = (3x+4)(x-2) + r = 3x^2 - 2x - 8 + r$. Así que $a = 3$, $b = -2$, $c = r - 8$. El punto $(3, 10)$ da $\dfrac{27 - 6 + c}{1} = 10$, así que $c = -11$ (y $r = -3$).
Leer una gráfica
Para una función de la forma $f(x) = \dfrac{ax^2}{x^2+b}$:
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La asíntota horizontal es $y = a$.
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La gráfica siempre pasa por el origen, ya que $f(0) = 0$.
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Tiene asíntotas verticales solo si $b < 0$, en $x = \pm\sqrt{-b}$. Si $b > 0$, el denominador nunca se anula.
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Es par, así que su gráfica es simétrica respecto al eje $y$.
Lee las asíntotas en la gráfica y relaciónalas con $a$ y $b$.
Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en…
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{5}{3}$.
Encuentre los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación…
Encuentre los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación $y = 2x+1$ y que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(4, 15)$.
A partir de la siguiente gráfica de una función racional, determine su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y los puntos de corte con los…
A partir de la siguiente gráfica de una función racional, determine su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y los puntos de corte con los ejes. A continuación, proponga una expresión algebraica del tipo $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ que se ajuste perfectamente a todas estas características visuales.
La función recíproca y sus transformaciones
Rectas y una hipérbola. Para ver dónde una recta corta una curva racional, iguala las expresiones, elimina el denominador y obtén una ecuación cuadrática. Una recta corta la curva en exactamente un punto cuando el discriminante es $0$ (una recta tangente), o cuando la ecuación se reduce a una ecuación lineal con una solución.
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explique qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la…
Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explique qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica de la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ para obtenerla.
Determine los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único…
Determine los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único punto. Interprete geométricamente qué representan esas rectas específicas para la curva.
Inversas y composiciones
Para hallar la inversa de una función racional, intercambia $x$ y $y$ y despeja $y$. La incógnita queda en el numerador y en el denominador, así que reúnes los términos con $y$ en un lado y factorizas.
El dominio de $f^{-1}$ es el rango de $f$, y la asíntota vertical de $f^{-1}$ es la asíntota horizontal de $f$ (y viceversa).
Composición. Para calcular $(f \circ f)(x)$, sustituye $f(x)$ en $f$ y simplifica la fracción compleja multiplicando el numerador y el denominador por el denominador común. Si $(f \circ f)(x) = x$, entonces $f$ es su propia inversa, así que la gráfica de $f$ es simétrica respecto a la recta $y = x$.
Calcule la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifique cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Calcule la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifique cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestre analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su…
Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestre analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su dominio. ¿Qué conclusión geométrica sobre la gráfica de $f(x)$ puede extraer de este resultado en relación con la recta bisectriz $y = x$?
Funciones racionales en el mundo real: costos y tasas
Muchas cantidades reales se reparten entre una cantidad cambiante: un costo fijo repartido entre las unidades producidas, el tiempo total de un trabajo compartido entre dos trabajadores, una dosis distribuida en el tiempo. Todas son funciones racionales, y la asíntota horizontal tiene un significado concreto: el valor a largo plazo de la cantidad.
Observa que $C(x)$ se acerca a $6$ pero nunca es igual a $6$, porque $\dfrac{400+6x}{x} = 6$ exigiría que $400 = 0$.
Problemas de trabajo. Si una persona termina un trabajo sola en $a$ horas y otra en $b$ horas, juntas terminan $\dfrac1a + \dfrac1b$ del trabajo por hora. El tiempo juntas es el recíproco de esa tasa.
Volvamos al principio: el costo por camiseta de Aaliyah siempre está un poco por encima de $\$6$, y mientras más imprime, más se acerca. La asíntota horizontal $y = 6$ es el piso.
El costo medio de producción (en dólares) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcule el costo medio…
El costo medio de producción (en dólares) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcule el costo medio de fabricar 100 unidades y determine el valor hacia el que tiende el costo medio si la producción se hace infinitamente grande, interpretando el resultado en el contexto del problema.
Un tanque contiene inicialmente 500 galones de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 gal/min. La…
Un tanque contiene inicialmente 500 galones de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 gal/min. La concentración de sal en el tanque tras $t$ minutos viene dada por la función $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. ¿En qué instante la concentración será exactamente de 25 g/L? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de esta función y qué significado físico tiene?
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría…
Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría $x+3$ horas. El tiempo total $T(x)$ que tardan si trabajan simultáneamente viene dado por la función $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Si trabajando juntos logran terminar el trabajo en exactamente 2 horas, ¿cuánto tiempo habría tardado el operario joven en pintar el muro él solo?
Modelos racionales: cotas y crecimiento
Dos trucos algebraicos te ayudan a estudiar un modelo racional sin cálculo.
Truco 1: acotar la salida con un discriminante. Para ver qué valores puede tomar $y = f(t)$, trata $y$ como un número dado, elimina el denominador y considera la ecuación como una cuadrática en $t$. El valor $y$ es alcanzable solo si esa cuadrática tiene una solución real, así que su discriminante debe ser $\geq 0$.
Truco 2: reescribir con división de polinomios. Cuando los grados son iguales, divide para obtener $f(t) = A - \dfrac{B}{t^2+1}$. Así puedes leer el valor a largo plazo ($A$) y si la función crece o decrece.
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión…
La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida en mg/L). Sin utilizar herramientas de derivación, demuestre de forma puramente algebraica que la concentración máxima nunca puede superar los $5$ mg/L y determine en qué instante exacto $t$ se alcanza dicha concentración máxima. (Sugerencia: Plantee la igualdad $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como una ecuación de segundo grado en la variable $t$ y analice la condición que debe cumplir su discriminante para que el tiempo sea un número real).
La población de una especie de pez en un lago protegido sigue un modelo de crecimiento dado por la función $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, donde $t \ge 0$ se mide en…
La población de una especie de pez en un lago protegido sigue un modelo de crecimiento dado por la función $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, donde $t \ge 0$ se mide en años desde el inicio del estudio. Determine la población inicial, la población a muy largo plazo (límite cuando $t \to +\infty$) y demuestre algebraicamente que la población está siempre creciendo a medida que pasa el tiempo. (Sugerencia: Intente expresar la fracción en la forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ realizando la división polinómica).