Identidades de ángulo doble
Cuando un mariscal de campo lanza un balón de fútbol americano o un golfista pega un drive, la distancia depende de $\sin(2\theta)$, no solo del ángulo de lanzamiento $\theta$. ¿Por qué $45^\circ$ manda la bola más lejos? ¿Y por qué dos ángulos distintos, como $30^\circ$ y $60^\circ$, caen en el mismo lugar? Las fórmulas de ángulo doble responden ambas preguntas y aparecen por todas partes en Precálculo y en Cálculo.
De dónde salen las fórmulas
Ya conoces las fórmulas de la suma para el seno y el coseno. Un ángulo doble es solo el caso especial $2\alpha = \alpha + \alpha$: sustituye $\beta = \alpha$ en las fórmulas de la suma y simplifica.
El coseno tiene tres formas equivalentes. Elige la que se ajuste a lo que sabes: solo $\cos\alpha$, solo $\sin\alpha$, o ambos. La fórmula de la tangente solo funciona cuando $\tan\alpha$ existe y $\tan\alpha \ne \pm 1$.
Las dos gráficas quedan exactamente una sobre la otra. Eso es lo que significa "identidad".
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo…
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble: $\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:
$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Partiendo de una razón conocida
Muchas veces conoces solo una razón de $\alpha$ y su cuadrante. Halla la razón que falta con $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (o con un triángulo rectángulo), fija su signo según el cuadrante y luego usa una fórmula de ángulo doble.
Si conoces $\tan\alpha$, no necesitas las otras razones: sustituye directamente en $\tan(2\alpha) = \dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Si el problema pide el resultado como fracción en su forma más simple, redúcela a su mínima expresión dividiendo los factores comunes.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Simplificar expresiones
Muchas expresiones con un producto de seno y coseno, o una diferencia de cuadrados, son una fórmula de ángulo doble disfrazada. Reconocer el patrón te da valores exactos sin calculadora.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Al revés: de $\cos 2\alpha$ a $\alpha$
¿Y si conoces $\cos(2\alpha)$ y quieres las razones de $\alpha$? Despeja las dos formas del coseno que tienen una sola razón:
Después saca la raíz cuadrada. El signo lo decide el cuadrante de $\alpha$, no el de $2\alpha$.
Las tres curvas son la misma gráfica, por eso puedes elegir la forma que más te convenga.
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que…
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determina el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.
Demostrar identidades
Para demostrar una identidad, trabaja en un solo lado hasta que se convierta en el otro. Las fórmulas de ángulo doble son muy útiles para esto. Un buen plan:
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Reemplaza cada ángulo doble por razones del ángulo simple $x$.
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Elige la forma de $\cos(2x)$ que cancele algo. Para $1 - \cos 2x$ usa $1 - 2\sin^2 x$; para $1 + \cos 2x$ usa $2\cos^2 x - 1$.
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Factoriza y cancela.
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central…
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestra que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo: $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:
$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:
$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$
Resolver ecuaciones con ángulos dobles
Cuando una ecuación mezcla $\sin(2x)$ o $\cos(2x)$ con razones de $x$, primero sustituye una fórmula de ángulo doble para que todo quede en términos del mismo ángulo. Luego factoriza o trátala como una ecuación cuadrática en una razón.
Para una ecuación con $\tan 2x$, escribe $\tan 2x = \dfrac{2t}{1 - t^2}$ con $t = \tan x$ y resuelve para $t$. Al final comprueba que $\tan x$ y $\tan 2x$ estén realmente definidas en cada respuesta.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$
Ecuaciones más difíciles: intervalos, parámetros, sistemas
Ecuaciones donde el ángulo doble se queda. Si despejas $2x$, recuerda que $x$ está en $[0, 2\pi)$, así que $2x$ está en $[0, 4\pi)$. Tienes que dar dos vueltas al círculo.
Ecuaciones con un parámetro. Sustituye $s = \sin x$ y cuenta las soluciones en $s$ que caen en el rango permitido. En $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, $s = \sin x$ recorre $[0, 1]$ y cada valor de $s$ corresponde a exactamente un $x$. (El mismo truco funciona con $\cos x$ en $[0, \pi]$.)
Sistemas. Usa las fórmulas de la suma y de la diferencia para convertir una expresión como $\sin x\cos y + \cos x\sin y$ en $\sin(x + y)$. Luego usa el intervalo para decidir qué ángulos son posibles.
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo…
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$…
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:
$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$
Aplicaciones: alcance y pendiente
El ángulo doble aparece siempre que algo se lanza, o cuando una pendiente se construye sobre un ángulo duplicado.
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que…
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la…
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.
Ángulos dobles en geometría
En un rombo, las diagonales son bisectrices de los ángulos. Así, un ángulo del rombo mide $2\alpha$, donde $\alpha$ es el ángulo entre un lado y una diagonal. Las mitades de las diagonales forman un triángulo rectángulo que te da $\tan\alpha$, y las fórmulas de ángulo doble hacen el resto.
La misma idea funciona en un círculo. Si $P$ está en el ángulo $\alpha$ de un círculo de radio $r$, entonces el punto en el ángulo $2\alpha$ es $(r\cos 2\alpha,\ r\sin 2\alpha)$.
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula…
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón…
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el arco mayor…
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el arco mayor subtiende un ángulo inscrito $\widehat{APB}$ que mide $\alpha$. Sabiendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula la razón (el cociente) entre el área del triángulo central $\triangle OAB$ y el área del triángulo inscrito $\triangle PAB$.
Combinar en una sola onda: máximo y mínimo
Las fórmulas de ángulo doble convierten productos y cuadrados en $\sin 2x$ y $\cos 2x$. El resultado suele ser $A\sin u + B\cos u$. Esta expresión siempre tiene la forma de una onda seno, con máximo $\sqrt{A^2 + B^2}$ y mínimo $-\sqrt{A^2 + B^2}$.
¿Por qué? Sea $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ y elige $\varphi$ con $\cos\varphi = \dfrac{A}{R}$ y $\sin\varphi = \dfrac{B}{R}$. Por la fórmula de la suma, $A\sin u + B\cos u = R(\sin u\cos\varphi + \cos u\sin\varphi) = R\sin(u + \varphi)$, que varía de $-R$ a $R$.
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el…
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Expresa $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determina el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.