Ejercicios: Combinaciones lineales de vectores. Bases

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -3)$ y $\vec{v} = (-4, 6)$, justifique matemáticamente si pueden formar una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.

Calcule las coordenadas del vector resultante de la combinación lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabiendo que $\vec{a} = (1, 4)$ y $\vec{b} = (-2, 5)$.

Determine el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, 4)$ y $\vec{q} = (3, -2)$ sean linealmente dependientes.

Exprese el vector $\vec{c} = (5, -2)$ como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$.

Compruebe si el conjunto de vectores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del plano.

Sabiendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ y $\vec{w} = (2, 7)$, halle el valor del escalar $k$.

Compruebe si los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (0, -2)$ forman una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.

Razone si tres vectores no nulos en el plano, por ejemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ y $\vec{w} = (3, 0)$, pueden ser linealmente independientes simultáneamente.

Dos remolcadores tiran de un barco averiado con fuerzas $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N y $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador se une aplicando una fuerza $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Exprese la fuerza $\vec{F}_3$ como combinación lineal de los vectores $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$, hallando las coordenadas de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.

En el motor físico de un videojuego, el movimiento de un personaje se define en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, donde $\vec{u} = (2, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personaje debe desplazarse al punto indicado por el vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecto a la base canónica, ¿cuáles serán las coordenadas del vector de desplazamiento en la base $B$?

Dado el paralelogramo $ABCD$ de la figura, exprese los vectores correspondientes a las diagonales $\vec{AC}$ y $\vec{BD}$ como combinación lineal de los vectores de los lados $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AD}$.

Una empresa de logística utiliza dos tipos de camionetas. La capacidad de carga de la camioneta tipo A se representa por el vector $\vec{a} = (3, 2)$, indicando 3 palés de fruta y 2 de verdura. La tipo B se representa por $\vec{b} = (1, 4)$. Si un centro comercial realiza un pedido exacto de 11 palés de fruta y 14 de verdura, representado por $\vec{p} = (11, 14)$, halle los escalares de la combinación lineal $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ para determinar cuántos viajes de cada camioneta se necesitan.

Determine un vector $\vec{v}$ tal que el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme una base ortonormal, sabiendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. ¿Es única la solución? Justifique su respuesta.

Un dron submarino se desplaza en un entorno con corrientes marinas. Su sistema de navegación autónoma utiliza una base formada por los vectores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ y $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplazamiento $\vec{w}$ cuyas coordenadas en esta base son $(4, -1)_B$. Calcule las coordenadas del vector $\vec{w}$ en la base canónica.

Halle los valores de $a$ y $b$ para que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ formen una base ortogonal, sabiendo además que el módulo del vector $\vec{u}$ es exactamente $5$.

En el plano adjunto se muestran los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Determine las coordenadas en la base canónica del vector resultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.

Demuestre analíticamente que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ es una base de los vectores del plano, entonces el conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ también forma una base. Si un vector $\vec{w}$ tiene coordenadas $(3, 5)$ en la base $B$, halle sus coordenadas en la nueva base $B'$.

Para garantizar la estabilidad de un nodo en una estructura reticular plana, los vectores directores de dos barras concurrentes deben ser linealmente independientes. Los vectores de diseño son $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ y $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determine para qué valores del parámetro $k$ el nodo es inestable (los vectores no forman base). Posteriormente, asumiendo $k=0$, exprese el vector de carga externa $\vec{P} = (4, -6)$ como combinación lineal de $\vec{d}_1$ y $\vec{d}_2$.

En el hexágono regular $ABCDEF$ de centro $O$ mostrado en la figura, se definen los vectores base $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprese los vectores $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ y $\vec{BC}$ como combinación lineal de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.

En el estudio de una red cristalina bidimensional, se definen dos bases para el plano: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ y una base secundaria $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sabiendo que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ y $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, halle las coordenadas en la base $B_1$ de un defecto puntual cuyo vector de posición en la base $B_2$ es $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos tales que el ángulo que forman es de $60^\circ$, con $|\vec{u}| = 2$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se define el vector $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcule la relación que debe existir entre los parámetros $m$ y $n$ para que el vector $\vec{w}$ sea perpendicular al vector $\vec{u}$.

El brazo de un robot industrial se mueve en un plano definido por una base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que es ortogonal pero no ortonormal, donde $|\vec{e}_1| = 2$ y $|\vec{e}_2| = 4$. Un comando de trayectoria le indica desplazarse según el vector $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcule el módulo exacto del vector de desplazamiento $\vec{v}$ y el coseno del ángulo que forma con el vector de la base $\vec{e}_1$.

Encuentre todos los vectores $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expresados como combinación lineal de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, tienen coordenadas $(a, b)_B$ tales que $a = b$ y, además, cumplen que su módulo en la base canónica es exactamente $\sqrt{45}$.

Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ y $C(x, y)$, determine las coordenadas del punto $C$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AC}$ forman una base del plano en la cual el vector $\vec{w} = (0, -6)$ tiene por coordenadas $(2, -1)_B$.