Funciones de valor absoluto
Una máquina en una carpintería corta clavijas que deben medir 10 pulgadas de largo. Al inspector no le importa si una clavija queda muy larga o muy corta, sino solo cuánto se desvía. El valor absoluto convierte cualquier diferencia con signo en una distancia, y eso le da a su gráfica una forma muy particular. Al final de esta página lo usarás para decidir qué clavijas pasan la inspección.
Del valor absoluto a las funciones por partes
Por esta definición en dos casos, toda función con valor absoluto se puede reescribir como una función definida por partes. (En algunos problemas se le llama función módulo. Es lo mismo.) El ejemplo básico es $f(x) = |x|$, que es igual a $x$ a la derecha de $0$ y a $-x$ a la izquierda.
Para reescribir $|E(x)|$ por partes, sigue tres pasos. Primero, encuentra dónde la expresión interior $E(x)$ es igual a $0$; ese es el punto de quiebre. Segundo, prueba un número a cada lado para ver dónde $E(x)$ es positiva y dónde es negativa. Tercero, conserva $E(x)$ donde es $\ge 0$ y usa $-E(x)$ donde es negativa.
Para evaluar, trabaja primero dentro de las barras y después toma el valor absoluto. Para $p(x) = |x^2 - 6x|$: $p(1) = |1 - 6| = 5$, $p(3) = |9 - 18| = 9$ y $p(7) = |49 - 42| = 7$.
El valor absoluto también modela situaciones de "¿cuánto se desvía?". Cuando la variable es el tiempo, el dominio suele ser $t \ge 0$, y el punto de quiebre te dice el momento en que el error es exactamente cero.
Exprese la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.
Exprese la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.
Calcule el valor numérico de la función $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para los puntos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.
Calcule el valor numérico de la función $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para los puntos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.
En un laboratorio, la desviación de la temperatura de una reacción química respecto a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ viene dada por la función…
En un laboratorio, la desviación de la temperatura de una reacción química respecto a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ viene dada por la función $D(t) = |2t - 12|$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Exprese $D(t)$ como una función definida a trozos y determine en qué instante la desviación es nula.
Al revés: de por partes a valor absoluto
También puedes ir en sentido contrario. Una función por partes es un valor absoluto $|E|$ cuando se cumplen dos cosas. Primero, sus dos ramas son opuestas una de la otra. Segundo, las partes cambian exactamente donde la rama que es positiva de su lado es igual a $0$.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$ Escriba su expresión analítica…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$
Escriba su expresión analítica de forma compacta utilizando el valor absoluto.
El vértice, el dominio, el rango y las intersecciones
Mueve los controles deslizantes y observa el vértice.
Para leer una ecuación a partir de una gráfica, encuentra primero el vértice. Si la V está sobre el eje $x$ en $(a, 0)$, la ecuación es $y = |x - a|$. Un vértice en $x = -3$ da $|x - (-3)| = |x + 3|$, así que cuidado con el signo.
Determine el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifique su respuesta basándose en las propiedades del valor absoluto.
Determine el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifique su respuesta basándose en las propiedades del valor absoluto.
Dada la siguiente gráfica de una función con valor absoluto, deduzca su expresión analítica de la forma $y = |x - a|$.
Dada la siguiente gráfica de una función con valor absoluto, deduzca su expresión analítica de la forma $y = |x - a|$.
Determine las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.
Determine las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.
Estirar y reflejar: $a|x - h| + k$
Si el coeficiente de $x$ está dentro de las barras, factorízalo primero: $|4x + 8| = |4(x + 2)| = 4|x + 2|$. Así ves de inmediato el vértice en $x = -2$ y la pendiente $4$.
Una V invertida con constante positiva, como $y = k - |x - h|$, es el caso $a = -1$. Su punto más alto es el vértice $(h, k)$ y corta el eje $x$ donde $|x - h| = k$, es decir, en $x = h \pm k$. Esto describe cualquier cosa que sube y luego baja a un ritmo constante, como la trayectoria de una pelota que rebota.
El mismo razonamiento sirve para hallar los parámetros de un modelo como $S(t) = A - |Bt - C|$ con $A, B, C > 0$. El valor máximo es $A$. El máximo ocurre donde el interior es $0$, y un cero de $S$ es un punto donde $|Bt - C| = A$.
En una simulación de billar, una bola rebota contra la banda situada en el eje de abscisas. La trayectoria de la bola sigue la función $y = 4 - |x - 3|$. Observe la…
En una simulación de billar, una bola rebota contra la banda situada en el eje de abscisas. La trayectoria de la bola sigue la función $y = 4 - |x - 3|$. Observe la representación y determine analíticamente las coordenadas del punto donde la bola alcanza su máxima separación de la banda y los puntos donde impactaría con el eje X.
Determine las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas…
Determine las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas positivas o negativas?
En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determine los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la…
En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determine los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la señal alcanza su valor máximo de $12\text{ V}$ en el instante $t = 5\text{ s}$, y que cruza el eje de abscisas (valor $0\text{ V}$) en los instantes $t = 2\text{ s}$ y $t = 8\text{ s}$.
Valor absoluto de una cuadrática
Este es el método para problemas como "¿qué tan lejos está el margen de ganancia de una empresa de su meta?". El interior de las barras es la diferencia con signo respecto a la meta. Donde es negativo, la empresa estuvo por debajo de la meta. Donde es positivo, estuvo por encima. Donde es $0$, estuvo exactamente en la meta. El valor absoluto informa entonces el tamaño de la diferencia.
Exprese como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.
Exprese como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.
Exprese la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indique en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido…
Exprese la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indique en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido reflejada respecto al eje de abscisas.
El margen de ganancia de una empresa, en miles de dólares, respecto a su objetivo anual se modela mediante la función $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, siendo $x$ el número de…
El margen de ganancia de una empresa, en miles de dólares, respecto a su objetivo anual se modela mediante la función $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, siendo $x$ el número de meses transcurridos. Exprese la función definida a trozos para identificar en qué periodos la empresa estuvo exactamente en el objetivo, por debajo de él (antes de aplicar el valor absoluto) o por encima.
Tocar el eje y leer una gráfica
Donde la parábola cruza el eje $x$, la reflexión crea una esquina pronunciada. Cuántas esquinas tiene la gráfica de $|x^2 + bx + c|$ depende del discriminante $b^2 - 4c$:
| Discriminante | Ceros de la parábola | Gráfica de $\lvert x^2 + bx + c \rvert$ |
|---|---|---|
| $> 0$ | dos | dos esquinas en el eje $x$, con un arco entre ellas |
| $= 0$ | uno (doble) | toca el eje en un punto, sin reflexión: $\lvert (x - r)^2 \rvert = (x - r)^2$ |
| $< 0$ | ninguno | igual que la parábola, completamente sobre el eje |
Ahora supón que la gráfica de $f(x) = |x^2 + bx + c|$ muestra dos ceros y el punto más alto del arco entre ellos. Usa los ceros para armar un sistema y usa el máximo para verificar tu trabajo.
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determine el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese…
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determine el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese valor de $k$, exprese $f(x)$ sin utilizar el valor absoluto.
La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantee un sistema de…
La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantee un sistema de ecuaciones y determine los valores de los parámetros $b$ y $c$.
Valor absoluto de una función racional
Para $f(x) = \left|\dfrac{N(x)}{D(x)}\right|$ importa el signo del cociente. Encuentra todos los números que hacen $0$ el numerador o el denominador, arma una tabla de signos, y conserva el cociente donde es positivo e invíertelo donde es negativo. El dominio no cambia: el denominador no puede ser $0$.
Sobre las asíntotas: las asíntotas verticales están donde el denominador es $0$ (las barras no cambian eso). Una asíntota horizontal $y = L$ del cociente se convierte en $y = |L|$.
Exprese la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determine su dominio y…
Exprese la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determine su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.
Sumas de valores absolutos y valores absolutos anidados
Cuando una función tiene varios valores absolutos, haz una lista de todos los puntos de quiebre (donde cada interior es $0$), ordénalos y trabaja cada intervalo por separado. En cada intervalo, cada valor absoluto tiene un signo fijo, así que puedes quitar todas las barras.
Para hallar la razón de cambio promedio en $[a, b]$, usa $\dfrac{g(b) - g(a)}{b - a}$. Para la $g$ de arriba en $[-3, 2]$: $g(-3) = 5$ y $g(2) = 5$, así que la razón es $\dfrac{5 - 5}{5} = 0$. Puedes evaluar con la fórmula original o usar la parte que corresponde a cada extremo.
Si solo necesitas la función en un intervalo, no hace falta toda la función por partes. Decide los signos en ese intervalo y quita las barras:
Los valores absolutos anidados, como $f(x) = \big||x| - 3\big|$, se resuelven de adentro hacia afuera. Para $x \ge 0$, $|x| = x$ y $f(x) = |x - 3|$. Para $x < 0$, $|x| = -x$ y $f(x) = |-x - 3| = |x + 3|$. Al resolver cada una se obtiene una forma de "W" con ceros en $x = \pm 3$ y un máximo local en $(0, 3)$.
En general, la gráfica de $f(x) = \big||x| - c\big|$ (con $c > 0$) tiene ceros en $x = \pm c$ y un máximo local en $(0, c)$. Por eso, para hallar $c$ a partir de una gráfica, lee la intersección positiva con el eje $x$ o la altura del pico central (la intersección con el eje $y$). Ambas son iguales a $c$.
Simplifique la expresión de la función $f(x) = 2x + |x - 4|$ escribiéndola como una función definida a trozos. A continuación, calcule la tasa de variación media en el…
Simplifique la expresión de la función $f(x) = 2x + |x - 4|$ escribiéndola como una función definida a trozos. A continuación, calcule la tasa de variación media en el intervalo $[2, 6]$.
El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modela mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el…
El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modela mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Exprese la función $E(t)$ sin utilizar valores absolutos en el intervalo de tiempo $t \in [1, 3]$.
La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observe los vértices y puntos de corte, deduzca el valor de $c$ y…
La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observe los vértices y puntos de corte, deduzca el valor de $c$ y escriba la expresión de la función definida a trozos para el intervalo $x \in [-4, 4]$.
Ecuaciones con valor absoluto
Geométricamente, resolver $|E(x)| = 0$ significa hallar la intersección con el eje $x$. En una gráfica en forma de V, esto es el vértice sobre el eje $x$: la gráfica toca el eje allí.
Para hallar dónde se cruzan dos gráficas de valor absoluto, iguálalas y divide en los dos casos. La solución da $x$; después, calcula $y$ para obtener el punto.
El atajo "$E = F$ o $E = -F$" es el más rápido. Si prefieres ver los signos, también puedes dividir por intervalos: usa los puntos de quiebre de ambas barras, quita las barras en cada intervalo, resuelve y conserva solo las soluciones que estén en ese intervalo.
Resuelva la ecuación $|2x - 8| = 0$ y explique qué representa geométricamente este resultado respecto a la gráfica de la función $f(x) = |2x - 8|$.
Resuelva la ecuación $|2x - 8| = 0$ y explique qué representa geométricamente este resultado respecto a la gráfica de la función $f(x) = |2x - 8|$.
Halle analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.
Halle analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.
Halle analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analice los diferentes casos según el signo de las…
Halle analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analice los diferentes casos según el signo de las expresiones dentro del valor absoluto.
Desigualdades con valor absoluto y dominios
Volvamos a la carpintería: las clavijas pasan la inspección si el error $|x - 10|$ es a lo sumo $0.25$ pulgadas. Lo resolvemos y lo graficamos.
Esta es la herramienta para problemas de dominio con raíces cuadradas: el radicando debe ser $\ge 0$.
Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de…
Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de calidad exige que $E(x) \le 1.5$, plantee la inecuación correspondiente y determine el intervalo de longitudes válidas para las varillas.
Halle el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantee y resuelva la inecuación con valor absoluto correspondiente.
Halle el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantee y resuelva la inecuación con valor absoluto correspondiente.