La recta real y los intervalos
Una fábrica de sodas programa su máquina para llenar latas de 12 onzas (oz), pero ninguna máquina es perfecta. La compañía acepta cualquier lata que contenga entre 11.8 oz y 12.2 oz. ¿Cómo puedes decir eso en una sola línea de matemáticas, sin ambigüedad? En esta sección aprenderás tres maneras equivalentes: un intervalo, una desigualdad y una condición de distancia.
Intervalos y desigualdades
Cada punto de la recta numérica es un número real, y cada número real es un punto de la recta. Un conjunto de números reales, como "todos los números desde $-1$ hasta $4$, sin incluir el $4$", se puede escribir como una desigualdad (también llamada inecuación) o como un intervalo. Ambos dicen exactamente lo mismo.
Un punto relleno (o corchete) significa que el extremo sí está incluido. Un punto vacío (o paréntesis) significa que no está incluido.
| Desigualdad | Intervalo | Tipo |
|---|---|---|
| $a < x < b$ | $(a, b)$ | abierto |
| $a \le x \le b$ | $[a, b]$ | cerrado |
| $a \le x < b$ | $[a, b)$ | semiabierto |
| $a < x \le b$ | $(a, b]$ | semiabierto |
| $x > a$ | $(a, \infty)$ | semirrecta |
| $x \le b$ | $(-\infty, b]$ | semirrecta |
| todos los números reales | $(-\infty, \infty)$ | toda la recta |
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$: $-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:
$-1,01$, $-1$, $3,14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Valor absoluto y distancia
El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ a $0$ en la recta numérica. En general, la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ es $|A - B|$.
En algunos problemas al valor absoluto se le llama módulo. Es lo mismo.
Escribir $|x - a|$ significa "la distancia de $x$ a $a$". Eso convierte las ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en preguntas sobre distancia:
| Enunciado | Significado | Solución |
|---|---|---|
| $\lvert x - a \rvert = r$ | $x$ está exactamente a $r$ de $a$ | $x = a - r$ o $x = a + r$ |
| $\lvert x - a \rvert \le r$ | $x$ está a $r$ o menos de $a$ | $a - r \le x \le a + r$, es decir, $[a - r, a + r]$ |
| $\lvert x - a \rvert \ge r$ | $x$ está al menos a $r$ de $a$ | $x \le a - r$ o $x \ge a + r$ |
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4,5$ y $B = 2,3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Entornos: $E(a, r)$
"Un valor $a$, con una variación de $r$" es una idea tan común que tiene nombre propio. El entorno (neighborhood) de centro $a$ y radio $r$ es el intervalo abierto de todos los puntos que están a una distancia de $a$ menor que $r$.
Para pasar de un intervalo $(p, q)$ a un entorno, halla el punto medio y la mitad de la longitud:
$$a = \frac{p + q}{2}, \qquad r = \frac{q - p}{2}.$$Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango…
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112,5 , 127,5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.
Tolerancias y error de medición
Toda medición tiene un margen de error. Un enunciado como "$L = 8 \pm 0.05$ pulgadas" significa que la longitud verdadera está a $0.05$ o menos de $8$, así que $|L - 8| \le 0.05$ y $L \in [7.95, 8.05]$.
El control de calidad suele dar la condición de rechazo en lugar de la de aceptación. Los valores aceptados son entonces el complemento: invierte la desigualdad.
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$.…
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0,02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$.…
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0,5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el…
La medida del radio de una esfera es $r = 5,0 \pm 0,1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.
Unión, intersección y complemento
Como los intervalos son conjuntos, podemos combinarlos.
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Unión $A \cup B$: números que están en $A$ o en $B$ (o en ambos).
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Intersección $A \cap B$: números que están en $A$ y en $B$.
-
Complemento $\mathbb{R} \setminus I$: todos los números reales que no están en $I$.
El mejor método es dibujar cada conjunto en su propia recta numérica, una sobre otra, con los extremos alineados.
La intersección es solo donde ambas rectas están en trazo grueso. La unión es donde al menos una está en trazo grueso.
Los intervalos también pueden tener una intersección vacía. Por ejemplo, $(-\infty, 1) \cap [3, \infty) = \varnothing$. Y dos intervalos que se tocan pueden fundirse en uno: $[1, 3] \cup (3, 5) = [1, 5)$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de…
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.
Desigualdades con valor absoluto
Para resolver una desigualdad con valor absoluto, aísla el valor absoluto y luego sepárala en una de dos formas:
-
$|u| \le c$ (con $c \ge 0$) se convierte en $-c \le u \le c$ (una sola cadena).
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$|u| \ge c$ se convierte en $u \le -c$ o $u \ge c$ (dos casos).
Aquí $u$ puede ser cualquier expresión, como $3x + 1$.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté…
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.
Desigualdades cuadráticas y sumas de valores absolutos
Para una desigualdad cuadrática, pasa todo a un lado, halla los ceros y revisa el signo en cada pieza de la recta numérica. Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba, así que es negativa entre sus ceros y positiva fuera de ellos.
Los valores absolutos también se pueden sumar. Divide la recta numérica en los puntos donde cada valor absoluto cambia de comportamiento y resuelve cada caso por separado.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Expresa como unión de intervalos el conjunto de todos los números reales que cumplen la inecuación cuadrática $x^2 - 4x - 5 > 0$.
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.
Números irracionales en la recta
Los números racionales son fracciones, y sus decimales terminan o se repiten. Los números irracionales, como $\sqrt{2}$, $\pi$ y $\varphi$, no se pueden escribir como fracción. Ambos tipos llenan la recta real, sin huecos.
Ubicar una raíz cuadrada exactamente
El teorema de Pitágoras permite ubicar $\sqrt{n}$ de forma exacta. Escribe $n$ como suma de dos cuadrados perfectos, $n = p^2 + q^2$. Dibuja un triángulo rectángulo con catetos $p$ y $q$ que empiece en $0$ sobre la recta numérica. Su hipotenusa mide $\sqrt{p^2 + q^2} = \sqrt{n}$. Con un compás centrado en $0$ y esa abertura, traza un arco hasta que corte la recta.
La razón áurea
La razón áurea $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ también tiene una construcción con regla y compás sobre la recta. Toma un cuadrado unitario sobre $[0, 1]$. Sea $M$ el punto medio de su base, en $\tfrac{1}{2}$. Traza el segmento de $M$ a la esquina superior derecha. Traza un arco con centro en $M$ hasta la recta numérica.
Por qué cae exactamente en $\varphi$: el triángulo rectángulo tiene catetos $1$ y $\tfrac{1}{2}$, así que la hipotenusa es $\sqrt{1 + \tfrac{1}{4}} = \tfrac{\sqrt{5}}{2}$. Partiendo de $M = \tfrac{1}{2}$ y avanzando esa distancia hacia la derecha se llega a $\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{5}}{2} = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi$. También puedes comprobar que $\varphi$ es un cero de $x^2 - x - 1$: $\varphi^2 = \tfrac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \tfrac{3 + \sqrt{5}}{2} = \varphi + 1$.
Números irracionales entre racionales
Entre dos números reales cualesquiera hay números racionales e irracionales. Para hallar un número irracional entre dos racionales $p < q$:
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Halla la separación $q - p$.
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Elige un número entero $N$ tan grande que $\sqrt{2}/N$ sea menor que la separación.
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Entonces $p + \sqrt{2}/N$ está entre $p$ y $q$.
Es irracional porque un número racional más un número irracional es irracional: si $p + \sqrt{2}/N$ fuera un racional $s$, entonces $\sqrt{2}/N = s - p$ sería racional, lo cual es falso.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por…
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
De vuelta al inicio: una lata se acepta cuando contiene entre $11.8$ y $12.2$ oz. Como intervalo es $[11.8, 12.2]$. Como condición de distancia es $|c - 12| \le 0.2$. Y como intervalo cerrado tiene centro $12$ y radio $0.2$, que es justo lo que dice $|c - 12| \le 0.2$. Tres maneras de decir lo mismo.