Sucesiones aritméticas

Sucesiones aritméticas y la diferencia común

Una sucesión es una lista ordenada de números $a_1, a_2, a_3, \dots$ donde $a_n$ es el término en la posición $n$. En algunas sucesiones pasas de un término al siguiente sumando siempre el mismo número. Esas son las que estudiamos aquí.

Algunos problemas la llaman progresión aritmética. Es exactamente lo mismo. Si $d > 0$ los términos aumentan, si $d < 0$ disminuyen, y si $d = 0$ nunca cambian.

Para comprobar si una sucesión es aritmética, resta cada término del siguiente. Si todas las diferencias son el mismo número, es aritmética. Si tienes una fórmula para $a_n$, demuestra que $a_{n+1} - a_n$ se simplifica a una constante que no depende de $n$.

La fórmula explícita

Para llegar al término 100 no quieres sumar $d$ noventa y nueve veces. Observa el patrón: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$. El número de $d$ siempre es uno menos que la posición, porque de $a_1$ a $a_n$ das $n - 1$ pasos.

Cómo hallar $a_1$ y $d$ a partir de otros datos

Con frecuencia no te dan $a_1$ ni $d$. Te dan dos términos, o un término y $d$. Usa la fórmula $a_n = a_k + (n-k)d$ y cuenta los saltos entre las dos posiciones.

También puedes escribir una ecuación por cada término conocido, con $a_1$ y $d$ como incógnitas, y resolver el sistema por eliminación. Para el ejemplo: $a_1 + 2d = 17$ y $a_1 + 7d = -3$. Al restar la primera ecuación de la segunda obtienes $5d = -20$, la misma ecuación de antes. Contar saltos es solo el paso de eliminación hecho mentalmente. Usa el sistema cuando te dé más seguridad, sobre todo con datos más complicados.

Medias aritméticas y términos consecutivos

Si $a$, $b$, $c$ son tres términos consecutivos de una sucesión aritmética, entonces $b - a = c - b$. Reordenando, $2b = a + c$, así que el término del medio es el promedio de sus vecinos. Por eso al término del medio se le llama la media aritmética de los otros dos.

Cómo insertar medias aritméticas. Interpolar $k$ medias aritméticas entre $a$ y $b$ significa colocar $k$ números entre ellos de modo que toda la lista sea aritmética. La lista tiene $k + 2$ números, así que hay $k + 1$ saltos de $a$ a $b$:

Cada salto es una parte igual de la distancia total $b - a$.

La suma de los primeros $n$ términos

¿Cuánto es $1 + 2 + 3 + \dots + 100$? Según la famosa historia, el joven Carl Friedrich Gauss vio el truco enseguida: juntar el primero y el último ($1 + 100$), el segundo y el penúltimo ($2 + 99$), y así sucesivamente. Cada pareja suma $101$ y hay $50$ parejas, así que la suma es $5050$.

La misma idea funciona para cualquier sucesión aritmética. Escribe la suma al derecho y luego al revés, y suma las dos filas columna por columna.

Cada columna suma $a_1 + a_n$ y hay $n$ columnas, así que $2S_n = n(a_1 + a_n)$. Al dividir entre $2$ obtienes la fórmula siguiente.

Suma de un bloque de términos

A veces solo quieres los términos de la posición $m$ a la posición $p$, no desde el principio. Hay dos maneras de hacerlo.

Método 1: aplicar la fórmula al bloque. El bloque es en sí una sucesión aritmética. Su primer término es $a_m$, su último término es $a_p$ y tiene $p - m + 1$ términos (¡cuenta ambos extremos!).

Método 2: restar. El bloque es todo hasta $p$ menos todo lo anterior a $m$: $S_p - S_{m-1}$.

Cómo despejar $n$

Cuando un problema te da el total $S_n$ y pregunta "¿cuántos términos?", la incógnita es $n$. Sustituye todo lo que sabes en $S_n$. La segunda forma de la fórmula contiene $n^2$, así que normalmente obtienes una ecuación cuadrática en $n$.

Una solución negativa o que no sea un número entero siempre se descarta. Pero a veces ambas raíces son enteros positivos, y entonces hay que mirar el contexto.

Problemas verbales

Asientos de un estadio, bonos que crecen cada mes, planes de entrenamiento: hazte tres preguntas.

1. ¿Se suma (o se resta) la misma cantidad cada vez? Si es así, es aritmética. Identifica $a_1$ y $d$.

2. ¿Preguntan por una posición (usa $a_n$) o por un total (usa $S_n$)?

3. ¿Cuántos términos hay? A veces te dan $n$. A veces debes despejarlo primero, normalmente a partir de un valor objetivo $a_n$.

Ahora volvamos con Emma. Su plan es aritmético con $a_1 = 2$ y $d = 0.5$. El día 10 corre $a_{10} = 2 + 9(0.5) = 6.5$ millas, y en los primeros 10 días acumula $S_{10} = \dfrac{10(2 + 6.5)}{2} = 42.5$ millas.

Modelos más difíciles: ángulos y pagos

En los problemas más difíciles, la sucesión está escondida en un dato geométrico o en un acuerdo financiero, y se da el total $S_n$. Usa el total para hallar la pieza que falta.

Cuando se conocen ambos extremos de la sucesión y el total, la fórmula de la suma es una ecuación lineal en $n$, así que no hay cuadrática que resolver. Una vez que tienes $n$, cuenta los saltos para hallar $d$. Si $d$ no resulta un número bonito, déjalo como fracción exacta y redondea solo al final (para dinero, al centavo más cercano).

Trucos algebraicos y demostraciones

Tres técnicas aparecen en los problemas más difíciles.

Truco 1: tres números en sucesión aritmética. No los llames $a$, $a + d$, $a + 2d$. Llámalos $x - d$, $x$, $x + d$. Las $d$ se cancelan al sumar, así que la suma es simplemente $3x$ y de inmediato conoces el número del medio.

Truco 2: de la suma de vuelta a los términos. Si conoces una fórmula para $S_n$, entonces $a_n = S_n - S_{n-1}$ para $n \ge 2$, porque $S_n$ es $S_{n-1}$ con un término más. Para el primer término, $a_1 = S_1$ (la fórmula de $a_n$ debe coincidir con él, así que verifícalo).

Truco 3: demostraciones. Para demostrar que tres cantidades $p, q, r$ están en sucesión aritmética, muestra que $q - p = r - q$ (o $2q = p + r$). Parte de la hipótesis dada y úsala para igualar las dos diferencias.

Otra idea útil: cuando la hipótesis es $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$, al factorizar cada lado como una diferencia de cuadrados obtienes $(b - a)(b + a) = (c - b)(c + b)$. Combínalo con denominadores comunes cuando las diferencias que quieres demostrar sean fracciones.

Resumen