Clava dos tachuelas en un tablero, pasa un pedazo de hilo alrededor de ellas, estíralo con un lápiz y desliza el lápiz alrededor. Acabas de dibujar una elipse. Esa misma curva es la trayectoria de cada planeta alrededor del Sol, con el Sol en un foco y no en el centro. También es la forma de ciertas salas donde un susurro en un punto se oye con claridad en otro. ¿Por qué el lápiz traza un óvalo tan perfecto, y por qué funcionan esos dos puntos especiales? Vamos a averiguarlo.
La elipse como lugar geométrico
El hilo se mantiene tenso, así que el lápiz siempre está en un punto $P$ donde (distancia a la tachuela 1) + (distancia a la tachuela 2) es igual a la longitud del hilo menos la separación entre las tachuelas. Esa suma nunca cambia. Esta es la definición.
La constante $2a$ es igual a la longitud del hilo menos la separación entre las tachuelas (la distancia $2c$ entre los focos). También es la longitud del eje mayor, la cuerda más larga de la elipse.
Ahora convirtamos la definición en una ecuación. Esto es justo lo que piden los problemas de "hallar el lugar geométrico".
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Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya suma de distancias a los puntos $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es siempre igual a $10$.…
Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya suma de distancias a los puntos $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es siempre igual a $10$. Simplifique la expresión hasta obtener la ecuación reducida de una elipse.
Cuando el centro es el origen y los ejes de la elipse están sobre los ejes coordenados, la ecuación es muy sencilla.
Algunos libros llaman "vértices" a los cuatro extremos de los ejes. Aquí los vértices son los extremos del eje mayor y los covértices son los extremos del eje menor. Algunos problemas usan la frase distancia focal para la distancia $2c$ entre los dos focos.
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Dada la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determine las coordenadas de sus vértices, las de sus focos y el valor de su excentricidad.
Dada la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determine las coordenadas de sus vértices, las de sus focos y el valor de su excentricidad.
Escriba la ecuación reducida de una elipse centrada en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de sus focos es el punto $F(4, 0)$ y que la longitud de su eje mayor es…
Escriba la ecuación reducida de una elipse centrada en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de sus focos es el punto $F(4, 0)$ y que la longitud de su eje mayor es $10$.
Dos elipses pueden tener $a = 5$ y verse muy distintas. Los focos pueden estar cerca (casi un círculo) o lejos (larga y delgada). La excentricidad mide esto.
Pruébalo tú. Aquí $a = 5$ es fijo. Mueve $b$ de $5$ a $0.5$ y observa la forma; luego piensa dónde estarían los focos.
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Calcule la excentricidad de la elipse cuya ecuación es $16x^2 + 25y^2 = 400$.
Calcule la excentricidad de la elipse cuya ecuación es $16x^2 + 25y^2 = 400$.
Halle la ecuación de una elipse centrada en el origen, cuyos focos están sobre el eje de ordenadas, sabiendo que la distancia focal es de $8$ unidades y la excentricidad…
Halle la ecuación de una elipse centrada en el origen, cuyos focos están sobre el eje de ordenadas, sabiendo que la distancia focal es de $8$ unidades y la excentricidad es $0,8$.
Si el centro es $(h, k)$, reemplaza $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$. Es el mismo desplazamiento que usaste con los círculos.
Con frecuencia los problemas te dan una ecuación general $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$. Para hallar el centro y los ejes, completa el cuadrado en $x$ y en $y$ por separado.
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Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escriba su…
Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escriba su ecuación en forma canónica.
Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestre que corresponde a una elipse. Para ello, exprésela en forma canónica y determine las coordenadas…
Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestre que corresponde a una elipse. Para ello, exprésela en forma canónica y determine las coordenadas de su centro, sus vértices y sus focos.
La elipse es el conjunto donde $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Al alejar un punto, $x$ y $y$ crecen en valor absoluto, así que el lado izquierdo aumenta. Eso da una prueba rápida.
¿Dónde corta una recta a la elipse?
Sustituye la recta en la ecuación de la elipse. Obtienes una ecuación cuadrática, y su discriminante te dice qué ocurre.
La misma idea funciona cuando una condición relaciona $x$ y $y$ y necesitas un punto de la elipse. Sustituye la condición en la ecuación, resuelve y luego regresa por la otra coordenada. Por ejemplo, en $x^2 + 4y^2 = 20$ con $y = 3x$ obtienes $x^2 + 36x^2 = 20$, de donde $x^2 = \tfrac{20}{37}$.
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Compruebe si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.
Compruebe si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.
Estudie la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halle las coordenadas de los puntos…
Estudie la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halle las coordenadas de los puntos de intersección.
En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño…
En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño pasador en un punto de la elipse cuya abscisa sea el doble que su ordenada. Calcule las coordenadas de dicho punto (asumiendo que ambas son positivas) y la distancia exacta de este punto al centro del engranaje.
Para usar una elipse en un problema real: coloca el centro en el origen, alinea el eje mayor con uno de los ejes coordenados, halla $a$ y $b$ y escribe la ecuación. Luego responde la pregunta con la ecuación.
Órbitas: lo más cerca y lo más lejos
Si el Sol está en un foco, el punto de la órbita más cercano al Sol es un vértice, y el más lejano también. Las distancias son:
$$\text{más cerca} = a - c, \qquad \text{más lejos} = a + c.$$
Al sumar se obtiene $2a$, y al restar se obtiene $2c$.
Arcos
Galerías de los susurros
Todos los caminos que van de un foco a la pared y de ahí al otro foco tienen la misma longitud, $2a$. Por eso el sonido que sale de un foco en cualquier dirección llega al otro foco en el mismo instante, y las ondas se refuerzan. Por eso un susurro en un foco se puede oír en el otro.
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La órbita de Mercurio alrededor del Sol es una elipse en la que el Sol ocupa uno de sus focos. La distancia mínima de Mercurio al Sol (perihelio) es de $46$ millones de…
La órbita de Mercurio alrededor del Sol es una elipse en la que el Sol ocupa uno de sus focos. La distancia mínima de Mercurio al Sol (perihelio) es de $46$ millones de millas, y la distancia máxima (afelio) es de $70$ millones de millas. Calcule la excentricidad de la órbita de Mercurio y la longitud de su semieje menor en millones de millas.
Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. El ancho del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el…
Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. El ancho del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el centro del río es de $6\text{ m}$. Calcule a qué altura se encuentra el arco a una distancia de $4\text{ m}$ del centro del río.
En la galería de los murmullos, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería…
En la galería de los murmullos, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería tiene una longitud total de $34\text{ m}$ y un ancho máximo de $16\text{ m}$, ¿a qué distancia del centro de la sala debe situarse cada persona para aprovechar este fenómeno acústico?
Para cualquier punto $P$ de la elipse, $d_1 + d_2 = 2a$, donde $d_1$ y $d_2$ son sus distancias a los dos focos. Este solo dato resuelve muchos problemas. Si además conoces un ángulo, la ley de los cosenos te da una segunda ecuación.
En el triángulo $F_1 P F_2$ los lados son $d_1$, $d_2$ y $2c$ (la distancia entre los focos). Si $\theta$ es el ángulo en $F_1$, la ley de los cosenos dice $d_2^2 = d_1^2 + (2c)^2 - 2 d_1 (2c)\cos\theta$. Reemplaza $d_2$ por $2a - d_1$ y los términos $d_1^2$ se cancelan, dejando una ecuación lineal en $d_1$.
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Una plaza principal tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado…
Una plaza principal tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado en el primer cuadrante. Se sabe que el eje mayor de la plaza mide $100\text{ m}$ y el eje menor $60\text{ m}$. Si el ángulo que forma el segmento $F_1P$ con el semieje positivo de abscisas es de $60^\circ$, calcule la longitud exacta del camino pavimentado.
Construir una ecuación a partir de puntos y condiciones
Una elipse que pasa por dos puntos dados
Si la elipse tiene centro en el origen y ejes sobre los ejes coordenados, escríbela como $\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1$, o de forma equivalente $Ax^2 + By^2 = 1$ con $A = \dfrac{1}{p}$ y $B = \dfrac{1}{q}$. Cada punto da una ecuación lineal en $A$ y $B$, así que dos puntos dan un sistema que puedes resolver por sustitución o eliminación.
Rectángulos inscritos en una elipse
Un rectángulo con lados paralelos a los ejes y vértices sobre la elipse es simétrico respecto a ambos ejes. Si un vértice es $(x, y)$ con $x, y > 0$, los otros son $(\pm x, \pm y)$. Así, el rectángulo mide $2x$ de ancho y $2y$ de alto, y su área es $4xy$.
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Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos…
Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos $A(2, \sqrt{3})$ y $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, halle la ecuación de la elipse y calcule la distancia exacta entre sus focos.
Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser…
Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes de la elipse. Si se desea que el rectángulo tenga un área total de $24\text{ m}^2$, ¿cuáles deben ser sus dimensiones exactas?
Una recta tangente toca a la elipse en exactamente un punto. Por la prueba de recta y elipse, eso significa que el discriminante es $0$. Hacer el álgebra una vez en general da un atajo muy útil.
Esta fórmula no cubre las rectas verticales, que no tienen pendiente. Para esta elipse las tangentes verticales son $x = \pm\sqrt{p}$.
Si un problema pide un parámetro, como "¿para qué $k$ es tangente $x + 2y + k = 0$?", reescribe primero la recta como $y = mx + (\text{intersección})$ y luego usa la condición sobre la intersección.
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Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.
Hay una segunda manera de definir una elipse que no usa los dos focos a la vez.
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Determine el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$.…
Determine el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$. Identifique la cónica resultante y calcule su centro y la longitud de sus semiejes.
Si conservas cada coordenada $x$ de un círculo y multiplicas cada coordenada $y$ por el mismo número $k$ con $0 < k < 1$, aplastas el círculo y lo conviertes en una elipse. Sustituye la coordenada vieja (escrita en términos de la nueva) en la ecuación del círculo.
Círculos tangentes a un círculo dado
Supón que un círculo tiene centro $P$ y radio $r$, pasa por un punto fijo $A$ y es tangente interiormente a un círculo grande con centro $O$ y radio $R$. Entonces $d(P, A) = r$, porque $A$ está en el círculo que se mueve. Además $d(O, P) = R - r$, porque los círculos se tocan por dentro. Suma ambas para eliminar $r$.
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Considere la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero…
Considere la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero su ordenada es el $60\%$ de la ordenada de $A$. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos $P$ es una elipse y determine su ecuación, su centro y sus focos.
Halle el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el…
Halle el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el punto fijo $A(6, 0)$. Demuestre que dicho lugar geométrico es una elipse, halle su ecuación canónica y determine las coordenadas de sus focos.
Volvamos al principio: el hilo tiene longitud fija, así que los dos pedazos de hilo del lápiz a las tachuelas siempre suman el mismo número. Esa es exactamente la definición $d_1 + d_2 = 2a$. En una galería de los susurros, cada camino del sonido de un foco a la pared y de ahí al otro foco también mide $2a$. Todas las ondas llegan juntas, y el susurro se oye.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado