Ecuaciones de la recta en el plano
En un videojuego, tu personaje corre en línea recta por el mapa. El código del juego guarda ese camino como $x = 4 + 3t$, $y = 1 + 2t$. Tus apuntes de Álgebra 1 escribirían el mismo camino como $y = \tfrac{2}{3}x - \tfrac{5}{3}$, y una app de GPS podría guardarlo como $2x - 3y - 5 = 0$. No son tres caminos distintos. Es una sola recta con tres disfraces.
¿Por qué una recta tiene tantas ecuaciones y cómo se pasa de una a otra? Cuando ves de dónde sale cada forma, cambiar de una a otra es algo mecánico. Cerraremos el círculo al final de la página.
La ecuación vectorial: un punto y una dirección
Para determinar una recta solo necesitas dos cosas: un punto de ella y la dirección en que apunta. Imagina que estás en un punto $A$ y caminas en la dirección de un vector $\vec v$ todo lo que quieras, hacia adelante o hacia atrás.
Algunos problemas escriben los vectores con paréntesis, como $(-1, 4)$. Es lo mismo que $\langle -1, 4\rangle$.
¿Por qué funciona? El vector $t\vec v$ siempre apunta en la misma dirección que $\vec v$ (o exactamente en la opuesta cuando $t < 0$). Si partes de $A$ y lo sumas, solo puedes llegar a puntos de la recta que pasa por $A$ con dirección $\vec v$.
Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.
Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.
Ecuaciones paramétricas
La ecuación vectorial son en realidad dos ecuaciones en una, una por cada coordenada. Si las escribes por separado, obtienes la forma que usan la mayoría de las herramientas de graficación y animaciones.
Las ecuaciones paramétricas son la forma más fácil de hallar dónde corta una recta a los ejes. Para la intersección con el eje $x$, haz $y = 0$, despeja $t$ y luego halla $x$. Para la intersección con el eje $y$, haz $x = 0$.
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en pies.…
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en pies. Escribe las ecuaciones paramétricas de su trayectoria e indica cuáles serán sus coordenadas cuando haya recorrido exactamente la mitad del trayecto.
Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en millas). Determina en qué puntos exactos la tubería…
Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en millas). Determina en qué puntos exactos la tubería cruza los ejes de coordenadas.
Forma simétrica: eliminar el parámetro
A veces no te interesa el tiempo ni $t$, solo quieres una ecuación en $x$ y $y$. Despeja $t$ en las dos ecuaciones paramétricas e iguala los resultados.
Algunos problemas llaman a esta la forma cartesiana de la recta. De igual modo, algunos llaman a la forma general (siguiente sección) la ecuación implícita y a la forma pendiente-intersección la ecuación explícita.
Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.
Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.
Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.
Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.
Forma general y vector normal
Elimina los denominadores de la forma simétrica y pasa todo a un lado. El resultado es la forma que sirve para todas las rectas, incluidas las verticales.
¿Por qué $\langle A, B\rangle$ es perpendicular a la recta? Si $(x_0, y_0)$ está en la recta, entonces $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ para todo punto $(x, y)$ de ella. Eso dice que $\langle A, B\rangle \cdot \langle x - x_0, y - y_0\rangle = 0$: el producto escalar del vector normal con cualquier vector a lo largo de la recta es cero. Compruébalo con los dos vectores de arriba: $\langle A, B\rangle \cdot \langle -B, A\rangle = -AB + AB = 0$.
Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.
Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.
Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.
Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta en forma continua.
Forma pendiente-intersección
Esta es la forma que viste en Álgebra 1. Si despejas $y$ en la forma general, obtienes la recta como función de $x$.
Conexiones con las otras formas:
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Con un vector director $\langle v_1, v_2\rangle$, la pendiente es $m = \dfrac{v_2}{v_1}$ (cambio vertical sobre cambio horizontal).
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Con $Ax + By + C = 0$ y $B \neq 0$, la pendiente es $m = -\dfrac{A}{B}$ y la intersección con el eje $y$ es $b = -\dfrac{C}{B}$.
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Una recta que pasa por el origen tiene $b = 0$, así que $y = mx$.
Prueba los controles deslizantes y observa cómo $m$ inclina la recta y $b$ la sube y la baja.
Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.
Determina la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.
El costo de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $\$450$, y fabricar $250$ unidades cuesta $\$825$. Determina…
El costo de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $\$450$, y fabricar $250$ unidades cuesta $\$825$. Determina la ecuación explícita que relaciona el costo $y$ con el número de unidades $x$, y calcula el costo fijo de producción (el costo cuando se fabrican $0$ unidades).
Forma punto-pendiente y la recta por dos puntos
Con frecuencia conoces un punto y la pendiente, pero no $b$. La forma punto-pendiente (point-slope form) te permite escribir la recta sin hallar primero $b$.
Para hallar la recta que pasa por dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$:
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Calcula la pendiente $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
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Usa $m$ y cualquiera de los dos puntos en la forma punto-pendiente.
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Reescribe en la forma que necesites.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.
Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.
Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.
En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en pies). Halla la…
En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en pies). Halla la ecuación general de la recta que define el cable y determina a qué altura se encuentra cuando la distancia horizontal desde el eje $Y$ es de $16$ pies.
Forma de intersecciones
Cuando un problema te da los puntos donde la recta corta a los ejes, hay una forma muy corta.
Los ejes y la recta forman un triángulo rectángulo con catetos $|a|$ y $|b|$, así que su área es $\tfrac12 |a|\,|b|$. Esto hace que la forma de intersecciones sea muy útil en problemas de área.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.
Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma…
Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliza este resultado para hallar la ecuación de una recta que forma con los ejes cartesianos un triángulo de área $12 \text{ u}^2$ sabiendo que $a = 2b$ y que ambos interceptos son positivos.
Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$…
Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$ tenga la misma ordenada en el origen que la recta $r$.
Una recta, muchas formas
Todas las formas llevan la misma información: un punto y una dirección. Cuando sepas identificar esas dos cosas, podrás escribir cualquier forma.
| Forma | Se ve así | Qué lees de inmediato |
|---|---|---|
| Vectorial | $(x, y) = A + t\vec v$ | punto y dirección |
| Paramétrica | $x = a_1 + tv_1,\ y = a_2 + tv_2$ | punto y dirección, coordenada por coordenada |
| Simétrica | $\frac{x - a_1}{v_1} = \frac{y - a_2}{v_2}$ | punto y dirección, sin $t$ |
| General | $Ax + By + C = 0$ | dirección $\langle -B, A\rangle$, normal $\langle A, B\rangle$ |
| Pendiente-intersección | $y = mx + b$ | pendiente $m$, intersección con el eje $y$ $b$ |
| Punto-pendiente | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | pendiente y un punto |
Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.
Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación general $4x + 3y - 10 = 0$.
Dónde se cruzan dos rectas
Dos rectas que no son paralelas se cruzan en exactamente un punto. Para hallarlo, pon las dos ecuaciones en formas que puedas resolver juntas: un sistema de dos ecuaciones, que puedes resolver por sustitución o eliminación, como en Álgebra 1.
Si una recta está dada en forma paramétrica y la otra en forma general, sustituye $x(t)$ y $y(t)$ en la ecuación general y despeja $t$. Si ambas son paramétricas, usa una letra distinta para cada parámetro (por ejemplo $s$ y $u$) y luego resuelve el sistema.
Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y…
Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y decide, calculando las longitudes de sus lados, de qué tipo de triángulo se trata.
Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$,…
Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (donde $t$ es el tiempo en minutos y las coordenadas están en millas). Determina el punto exacto donde se cruzan sus trayectorias y averigua si los aviones llegan a colisionar (es decir, si pasan por ese punto en el mismo instante $t$).
Familias de rectas y el truco del espejo
Familias de rectas. Toma dos rectas que se cruzan en un punto $P$: $L_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ y $L_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$. Entonces cada ecuación
$$(A_1x + B_1y + C_1) + k\,(A_2x + B_2y + C_2) = 0$$es una recta que pasa por $P$. Esta es una familia de rectas que pasan por $P$ (algunos problemas la llaman haz de rectas), y $P$ es su centro.
¿Por qué? En $P$ los dos paréntesis valen $0$, así que cualquier combinación de ellos también vale $0$. Al cambiar $k$, la recta gira alrededor de $P$. (La única recta que no puedes obtener es la propia $L_2$.)
Para obtener el miembro con una pendiente dada, desarrolla la familia, escribe la pendiente como $-\dfrac{A}{B}$ con $A$ y $B$ que contienen $k$, y despeja $k$.
El truco del espejo. Un láser rebota en un espejo plano con el ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión. Para hallar dónde golpea, refleja uno de los puntos respecto al espejo. Así, la trayectoria con rebote se convierte en una línea recta.
Por qué funciona: al reflejar $B$ respecto al espejo se conservan las distancias al espejo, así que el ángulo que $PB$ forma con el espejo es igual al que forma $PB'$. Entonces la recta de $A$ a $B'$ corta al espejo justo en el punto donde los dos ángulos son iguales.
Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas…
Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas independientemente del valor de $k$) y determina el valor de $k$ para el cual la recta del haz tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$.
Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el…
Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla las ecuaciones de las rectas que contienen al rayo incidente y al rayo reflejado, y el punto exacto de rebote en el espejo.
Volvamos al principio: el camino $x = 4 + 3t$, $y = 1 + 2t$, la ecuación $y = \tfrac23 x - \tfrac53$ y la ecuación $2x - 3y - 5 = 0$ pasan todas por $(4, 1)$ y comparten la dirección $\langle 3, 2\rangle$ (pendiente $\tfrac23$). Mismo punto, misma dirección, misma recta.