Sucesiones exponenciales y el número e
Tu cuenta de ahorros paga intereses, y el banco te ofrece capitalizarlos cada vez más seguido: cada mes, cada día, cada segundo. ¿Puedes ganar sin límite solo con capitalizar más rápido? La respuesta es un techo muy concreto, y ese techo es uno de los números más importantes de las matemáticas: el número $e$.
La sucesión que define $e$
Evalúa $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ para valores de $n$ cada vez más grandes:
| $n$ | $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| $1$ | $2$ |
| $10$ | $2.5937\ldots$ |
| $100$ | $2.7048\ldots$ |
| $1{,}000$ | $2.7169\ldots$ |
| $10{,}000$ | $2.7181\ldots$ |
Los términos siguen aumentando, pero con saltos cada vez más pequeños.
Usa la siguiente sucesión para ver cómo los términos se acercan a $e$ sin superarlo nunca:
¿Por qué existe este límite? La base $1+\frac{1}{n}$ se acerca a $1$, lo que intenta mantener la potencia pequeña. El exponente $n$ crece sin parar, lo que intenta hacerla grande. El número $e$ es el equilibrio exacto entre esas dos fuerzas.
El mismo límite funciona con otras formas del exponente. Por ejemplo, $\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)^{2n}$ también tiende a $e$: sea $m = 2n$; entonces $m\to\infty$ también, y es simplemente $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$.
Halla el límite de la sucesión formada por el cociente de polinomios elevado a $n$: $c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$
Halla el límite de la sucesión formada por el cociente de polinomios elevado a $n$:
$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$
Determina el valor al que tiende la sucesión $b_n$ cuando $n \to \infty$: $b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$
Determina el valor al que tiende la sucesión $b_n$ cuando $n \to \infty$:
$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$
Primero revisa la base
Antes de usar cualquier cosa sobre $e$, encuentra el límite de la base. Solo un caso lleva a $e$.
El caso más simple es una sucesión geométrica $r^n$: tiende a $\infty$ si $r>1$ y a $0$ si $0 A veces se suman los términos de una sucesión geométrica, como en las dosis repetidas de un medicamento. La suma de los primeros $n$ términos (una serie geométrica) es Si $|r|<1$, entonces $r^n\to 0$, así que Indica cuál es el límite de la siguiente sucesión geométrica: $d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$ Un vehículo pierde un $15\%$ de su valor cada año debido a la depreciación. Si su precio inicial en el concesionario es de $\$24000$, el valor tras $n$ años viene dado por la sucesión $Vn = 24000 \cdot (0.85)^n$. ¿Cuál será su valor tras $5$ años? ¿Qué ocurre con su valor a medida que el número de años tiende a infinito? Un paciente recibe una dosis de $50$ mg de un medicamento cada $24$ horas. Sabiendo que el cuerpo elimina el $40\%$ del medicamento presente en ese intervalo de tiempo, la cantidad acumulada en el cuerpo justo después de la dosis $n$-ésima sigue la sucesión geométrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0.6 + 50 \cdot 0.6^2 + \dots + 50 \cdot 0.6^{n-1}$. Calcula la cantidad acumulada a largo plazo (el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$).Sumar una sucesión geométrica
Indica cuál es el límite de la siguiente sucesión geométrica: $d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$
Un vehículo pierde un $15\%$ de su valor cada año debido a la depreciación. Si su precio inicial en el concesionario es de $\$24000$, el valor tras $n…
Un paciente recibe una dosis de $50$ mg de un medicamento cada $24$ horas. Sabiendo que el cuerpo elimina el $40\%$ del medicamento presente en ese intervalo de tiempo,…
La fórmula general para $1^\infty$
La misma idea aparece con muchas bases y exponentes distintos. Una fórmula convierte cualquier límite $1^\infty$ en un límite más simple: exponente por (base menos $1$).
La misma fórmula sirve para bases menores que $1$. Para $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ tenemos $b_n(a_n-1)=n\cdot\left(-\frac{1}{n}\right)=-1$, así que el límite es $e^{-1}=\frac{1}{e}$.
Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial: $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial:
$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$
Calcula el límite de la sucesión con término general: $e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Calcula el límite de la sucesión con término general:
$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$
Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$: $f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Determina el límite de la siguiente sucesión, sabiendo que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$:
$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$
Bases racionales y exponentes lineales
La mayoría de los problemas tienen una base que es un cociente de polinomios y un exponente como $kn$ o $kn+c$. La rutina siempre es la misma: réstale $1$ a la base, combina en una sola fracción (repasa las fracciones algebraicas si es necesario), multiplica por el exponente y toma el límite usando los grados.
Una constante sumada al exponente no cambia la respuesta cuando el exponente es $n+c$. Por ejemplo, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+5}$ da $L=\lim\frac{n+5}{n}=1$, así que el límite sigue siendo $e$. Los $5$ factores extra de la base solo multiplican el resultado por algo que tiende a $1$.
Halla el límite de la sucesión exponencial cuyo exponente es $n+5$: $g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$
Halla el límite de la sucesión exponencial cuyo exponente es $n+5$:
$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente: $a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, resolviendo la indeterminación correspondiente:
$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$
Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$: $b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$:
$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$
Bases y exponentes más difíciles
A veces el exponente es en sí mismo una expresión racional, o la base tiene grado $2$ o más. El procedimiento no cambia: calcula $b_n(a_n-1)$ y simplifica con las técnicas de límites que ya conoces (compara los grados).
Observa qué tan lento se acercan los términos a $e^2\approx 7.39$. El límite es exacto, pero la convergencia puede ser lenta.
Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base: $c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base:
$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción: $d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción:
$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$
Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:…
Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:
$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$
Raíces cuadradas y parámetros desconocidos
Raíces en la base. Una raíz cuadrada es una potencia con exponente $\tfrac12$, así que pásala al exponente:
$$\left(\sqrt{x_n}\right)^{b_n}=x_n^{\,b_n/2}.$$Encontrar un parámetro desconocido. Trabaja hacia atrás: el límite es $e^L$, así que iguala $L$ al exponente que te dan.
Si la base es algo como $\frac{an+3}{2n+1}$, tiende a $\frac{a}{2}$. Un límite finito y distinto de cero como $e^{-4}$ solo es posible cuando la base tiende exactamente a $1$, lo que obliga a que $\frac{a}{2}=1$. De lo contrario, el límite sería $0$ o $\infty$ (mira "Primero revisa la base").
Halla el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad con el número $e$: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$
Halla el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad con el número $e$:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$
Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente sucesión tenga como límite $e^{-4}$, sabiendo que $a$ es un número real positivo:…
Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente sucesión tenga como límite $e^{-4}$, sabiendo que $a$ es un número real positivo:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$
Halla el límite de la sucesión que combina raíces cuadradas en su base y un exponente lineal: $c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$
Halla el límite de la sucesión que combina raíces cuadradas en su base y un exponente lineal:
$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$
Crecimiento y decaimiento con base $e$
Muchos procesos naturales (decaimiento radiactivo, enfriamiento, medicamentos que salen del cuerpo) se modelan directamente con una exponencial de base $e$:
$$a_n = a_0\, e^{kn}.$$Si $k>0$, la cantidad crece sin límite. Si $k<0$, decae hacia $0$.
Para el crecimiento, toma bacterias con $P_n=500\,e^{0.2n}$. Aquí $k=0.2>0$, así que $P_n\to+\infty$, y por ejemplo $P_{10}=500e^{2}\approx 3{,}695$.
El problema del contaminante usa una sucesión de filtrado $C_0\left(1-\frac{2}{n}\right)^n$ cuyo límite sale de la fórmula, $C_0e^{-2}$. El patrón de "decaimiento por $e^{-k}$" es el mismo.
La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0.1n}$, donde $n$ es el número de años…
La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0.1n}$, donde $n$ es el número de años transcurridos y $M_n$ se mide en onzas. ¿Cuántas onzas quedarán en la muestra tras $20$ años? ¿A qué valor tiende la masa a largo plazo (cuando $n \to \infty$)?
En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión…
En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión $T_n = 80 \cdot e^{-0.05n}$, siendo $n$ los minutos transcurridos desde el inicio del enfriamiento. Calcula la diferencia de temperatura a los $30$ minutos y determina el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$.
La concentración de un contaminante en un lago se reduce de forma natural mediante un proceso que sigue la sucesión $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, donde…
La concentración de un contaminante en un lago se reduce de forma natural mediante un proceso que sigue la sucesión $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, donde $n$ representa la cantidad de etapas de filtrado aplicadas. Si se aplican infinitas etapas de filtrado, demuestra matemáticamente a qué fracción exacta de la concentración inicial $C_0$ se reducirá el contaminante.
Interés compuesto continuo
Si capitalizas un capital $P$ a una tasa anual $r$ un total de $n$ veces por año, después de un año el saldo es $P\left(1+\frac{r}{n}\right)^n$. Haz que $n\to\infty$ (el interés se suma en cada instante) y aparece $e$.
Prueba el interactivo y compara cómo crece el saldo al aumentar el número de periodos de capitalización:
Se depositan $\$5000$ en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final tras $n…
Se depositan $\$5000$ en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final tras $n$ años con capitalización continua viene dada por la sucesión $Cn = 5000 \cdot e^{0.04n}$. Calcula el capital acumulado tras $10$ años y compáralo con el capital obtenido si la capitalización fuera anual, cuya expresión es $C'_n = 5000 \cdot (1.04)^n$.
Se invierten $\$10000$ a una tasa de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $Cn…
Se invierten $\$10000$ a una tasa de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $Cn = 10000 \left( 1 + \frac{0.05}{n} \right)^n$. Calcula el límite de esta sucesión cuando $n \to \infty$ para hallar el capital final bajo capitalización continua. Compara este resultado con el capital obtenido si se capitaliza trimestralmente ($n=4$).
De vuelta al inicio: capitalizar más rápido no hace que tu saldo explote. Con tasa $r$, el saldo después de un año tiene un tope de $P\,e^{r}$. Con $5\%$, el rendimiento efectivo pasa de $5\%$ a un techo de cerca de $5.13\%$.