Ejercicios: Resolución de triángulos oblicuángulos

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ pulgadas y $b = 8$ pulgadas, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcule la longitud del lado $c$.

Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ pies, $b = 5$ pies y $c = 7$ pies. Determine la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.

En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ pulgadas, halle la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).

En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ pies, $b = 8$ pies y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcule la medida del ángulo $B$.

Halle el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ pulgadas, $c = 20$ pulgadas y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.

Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ pulgadas y $10$ pulgadas, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcule la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.

En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ pies y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determine la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.

En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ pulgadas y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcule la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.

Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ pies en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcule la altura del aerogenerador.

En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ pulgadas y el segundo mide $35$ pulgadas. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcule las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.

Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ pies, $BC = 40$ pies, $CD = 30$ pies y $DA = 60$ pies. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcule el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.

Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halle la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.

Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ millas entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcule la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.

Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ pulgadas de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcule el perímetro y el área de dicho heptágono.

Un panel solar de $2$ pies de longitud se va a instalar sobre un techo plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, el panel debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcule la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior del panel para unirlo con el techo.

Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ pulgadas. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantee la ecuación correspondiente, halle el valor exacto de $x$ y calcule el perímetro del triángulo.

En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ pulgadas, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ pulgadas$^2$. Plantee un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigüe la medida de los ángulos $A$ y $C$.

Demuestre geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (seno y coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utilice esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ pulgadas (el minutero) y $8$ pulgadas (la aguja horaria). Calcule la distancia exacta en pulgadas que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Tenga en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el norte a una velocidad constante de $800$ mph. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ millas exactas al noreste ($45^\circ$ respecto al norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determine el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.

En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ pulgadas, $b=14$ pulgadas y $c=15$ pulgadas, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcule el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtenga los valores exactos de $R$ y $r$.

Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ pulgadas, $b = 5$ pulgadas y $c = 8$ pulgadas. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcule la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).

Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ pies. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantee la geometría de la sección transversal adecuada y calcule la altura total de la pirámide.