Ejercicios: Función racional

Calcule el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{5x-2}{x^2-9}$.

Halle las coordenadas de los puntos de corte con los ejes cartesiano de la función $f(x) = \frac{3x+12}{2x-5}$.

Determine las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{4x-1}{x+3}$.

Estudie el signo de la función racional $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$, indicando claramente los intervalos de la recta real donde la función toma valores positivos y donde toma valores negativos.

Encuentre el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ toma exactamente el valor $f(x) = 5$.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x+2} - 4$, explique qué transformaciones geométricas elementales (desplazamientos horizontales y verticales) se han aplicado a la gráfica de la hipérbola básica $y = \frac{1}{x}$ para obtenerla.

Compruebe analíticamente si la función $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ es par, impar o no presenta simetría respecto a los ejes de coordenadas.

Determine el dominio de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+4x+4}$.

El costo medio de producción (en dólares) de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C_m(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$. Calcule el costo medio de fabricar 100 unidades y determine el valor hacia el que tiende el costo medio si la producción se hace infinitamente grande, interpretando el resultado en el contexto del problema.

Halle la ecuación de la asíntota oblicua de la función racional $f(x) = \frac{2x^2-5x+4}{x-1}$.

Un tanque contiene inicialmente 500 galones de agua pura. Se empieza a bombear una solución salina con una concentración de 40 g/L a un ritmo de 10 gal/min. La concentración de sal en el tanque tras $t$ minutos viene dada por la función $C(t) = \frac{400t}{500+10t}$. ¿En qué instante la concentración será exactamente de 25 g/L? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de esta función y qué significado físico tiene?

Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+7}{3x+b}$ tenga una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = \frac{5}{3}$.

Dos operarios trabajan juntos para pintar un muro. El operario más joven tardaría $x$ horas en hacerlo trabajando solo, mientras que el operario de mayor edad tardaría $x+3$ horas. El tiempo total $T(x)$ que tardan si trabajan simultáneamente viene dado por la función $T(x) = \frac{x(x+3)}{2x+3}$. Si trabajando juntos logran terminar el trabajo en exactamente 2 horas, ¿cuánto tiempo habría tardado el operario joven en pintar el muro él solo?

Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes coordenados y las ecuaciones de todas las asíntotas de la función racional $f(x) = \frac{3x^2}{x^2-16}$.

Calcule la expresión analítica de la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$ y especifique cuál es el dominio de esta nueva función $f^{-1}(x)$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$, determine su dominio, sus asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y estudie la posición de la curva respecto a su asíntota oblicua cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Encuentre los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-3}$ sabiendo que tiene una asíntota oblicua de ecuación $y = 2x+1$ y que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(4, 15)$.

Analice detalladamente la función racional $f(x) = \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. Determine su dominio, simplifique la expresión algebraica indicando para qué valores es válida la simplificación, halle las ecuaciones de sus asíntotas y explique qué fenómeno gráfico se produce exactamente en el punto de abscisa $x = 2$.

Discuta, en función del parámetro real $k$, la existencia de asíntotas verticales para la función $f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2-kx+9}$. Determine el intervalo de valores de $k$ para los cuales la función carece por completo de asíntotas verticales.

A partir de la siguiente gráfica de una función racional, determine su dominio, las ecuaciones de sus asíntotas (verticales y horizontales) y los puntos de corte con los ejes. A continuación, proponga una expresión algebraica del tipo $f(x) = \frac{ax^2}{x^2+b}$ que se ajuste perfectamente a todas estas características visuales.

La concentración $C(t)$ de un fármaco en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular viene dada por la expresión $C(t) = \frac{30t}{t^2+9}$ (medida en mg/L). Sin utilizar herramientas de derivación, demuestre de forma puramente algebraica que la concentración máxima nunca puede superar los $5$ mg/L y determine en qué instante exacto $t$ se alcanza dicha concentración máxima. (Sugerencia: Plantee la igualdad $C = \frac{30t}{t^2+9}$ como una ecuación de segundo grado en la variable $t$ y analice la condición que debe cumplir su discriminante para que el tiempo sea un número real).

Sea la función racional $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. Demuestre analíticamente que la función compuesta $(f \circ f)(x) = x$ para todo valor de $x$ perteneciente a su dominio. ¿Qué conclusión geométrica sobre la gráfica de $f(x)$ puede extraer de este resultado en relación con la recta bisectriz $y = x$?

Determine los valores del parámetro real $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx$ interseca a la curva racional $y = \frac{1}{x-2}$ en exactamente un único punto. Interprete geométricamente qué representan esas rectas específicas para la curva.

La población de una especie de pez en un lago protegido sigue un modelo de crecimiento dado por la función $P(t) = \frac{2000t^2+500}{t^2+1}$, donde $t \ge 0$ se mide en años desde el inicio del estudio. Determine la población inicial, la población a muy largo plazo (límite cuando $t \to +\infty$) y demuestre algebraicamente que la población está siempre creciendo a medida que pasa el tiempo. (Sugerencia: Intente expresar la fracción en la forma $A - \frac{B}{t^2+1}$ realizando la división polinómica).