Ejercicios: Función polinómica

Determine las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Halle la expresión analítica de la función afín que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.

Calcule analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.

La altura en pies de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.

Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcule las coordenadas exactas de su vértice.

Analice el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Encuentre las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Calcule el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.

Halle la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Exprese el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner cerca en ese lado. Exprese el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determine las dimensiones que maximizan dicha área.

Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en pies respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcule la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.

Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.

El precio de venta en dólares de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado viene dado por la función $p(x) = 120 - 2x$. Escriba la función de ingresos totales $R(x)$ y calcule cuántas unidades deben venderse para maximizar los ingresos.

Calcule analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = 2x - 5$.

Dada la función cuadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determine de forma razonada sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Encuentre las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudie su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y negativa.

Halle la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.

Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelizado en dólares es $p(x) = 200 - 0.5x$. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 5000 + 20x$. Exprese la función de beneficios $B(x)$, determine el número de unidades que maximiza el beneficio y calcule a cuánto asciende dicho beneficio máximo.

Determine los valores del parámetro $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx - 4$ es tangente a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$.

El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ pies y el punto más bajo del cable se encuentra a $20$ pies por debajo del punto de enganche en las torres. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, halle la ecuación de la parábola y calcule la altura del cable a $30$ pies del centro.

Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determine su expresión analítica y calcule todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Se dispone de una lámina de cartón rectangular de $40$ pulgadas de largo por $30$ pulgadas de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas resultantes. Exprese el volumen $V(x)$ de la caja como una función polinómica, indique cuál es su dominio válido en el contexto de este problema geométrico y calcule el volumen si se recorta un cuadrado de $5$ pulgadas de lado.

Calcule el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.

Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra sobre la recta $y = -x + 1$, encuentre la expresión analítica de la función o funciones que cumplen estas condiciones.