Ejercicios: Punto medio de un segmento

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.

El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.

Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.

Sabiendo que el punto medio del segmento de extremos $A(x, 4)$ y $B(5, y)$ es $M(2, -1)$, calcula el valor de las coordenadas desconocidas $x$ e $y$.

Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.

En un mapa topográfico, dos antenas de telecomunicaciones están situadas en las coordenadas $A(10, 20)$ y $B(40, -10)$. Se desea instalar un repetidor exactamente a la misma distancia de ambas, en la línea recta que las une. ¿Cuáles serán las coordenadas del repetidor?

Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.

Comprueba analíticamente que, si $M$ es el punto medio del segmento de extremos $A(0, 4)$ y $B(6, -2)$, se cumple la igualdad vectorial $\vec{AM} = \vec{MB}$.

Un dron de reparto vuela en línea recta desde el almacén $A(-50, 120)$ hasta la base $B(150, -40)$. Exactamente en el punto medio de su trayecto, suelta un paquete con paracaídas. Determina las coordenadas del punto de lanzamiento y la distancia en línea recta desde el almacén hasta dicho punto.

Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).

Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 2)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.

La recta $r: x - 2y + 4 = 0$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $P$ y $Q$. La recta $s: 2x + y - 6 = 0$ corta a los ejes en $R$ y $S$. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos medios de $PQ$ y $RS$.

Encuentra el punto simétrico de $P(3, -2)$ respecto del punto $C(1, 4)$. A continuación, halla el simétrico del punto resultante respecto del origen de coordenadas.

Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.

Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.

Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.

Un segmento queda dividido en dos partes iguales por el punto $M(2, 1)$. Sabiendo que sus extremos se encuentran, respectivamente, sobre las rectas $r: x - y - 2 = 0$ y $s: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de dichos extremos.

Dos brazos robóticos se desplazan a lo largo de los rieles rectilíneos definidos por $y = 2x + 1$ e $y = -x + 4$. Ambos sostienen una pieza exactamente en el punto medio del segmento que une sus pinzas. Si la pieza se encuentra en la posición $M(3, 3)$, calcula las coordenadas exactas de cada pinza.

Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.

El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.

Una de las diagonales de un rombo está contenida en la recta $y = 2x$. Los extremos de la otra diagonal son los puntos $A(-1, 3)$ y $C(3, 1)$. Comprueba que el centro del rombo pertenece a la recta dada y calcula la longitud del lado del rombo.

Dados los puntos $A(t, 2t)$ y $B(1-t, 3)$, que dependen del parámetro $t$, obtén la expresión de la distancia desde el origen de coordenadas al punto medio de $AB$. ¿Para qué valor de $t$ dicha distancia es mínima?