Ejercicios: Límite de una función en un punto

Calcula el siguiente límite sustituyendo directamente el valor de $x$:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 5}{x + 1}$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina los límites laterales $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. A partir de ellos, indica si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Calcula los límites laterales en $x = 1$ y determina si existe el límite en dicho punto.

Resuelve el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $0/0$:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Calcula los límites laterales de la siguiente función en $x = 1$ para determinar el signo del infinito:

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 1}$

Calcula el límite de la siguiente función con valor absoluto en un punto donde su argumento interno no se anula:

$\lim_{x \to -2} |x^2 + 4x + 3|$

Resuelve el siguiente límite multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Observa la siguiente tabla de valores para una función $f(x)$ en el entorno de $x = 3$. Deduce el valor de $\lim_{x \to 3} f(x)$.

Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios (puedes usar la regla de Ruffini):

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 + 3x + 2}$

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación mediante el uso de la expresión conjugada:

$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}$

Determina el valor de la constante $k$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en $x = 2$ y coincida con el valor de $f(2)$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ k & \text{si } x = 2 \end{cases}$

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un componente electrónico en función del voltaje $v$ (en voltios) viene dada por la expresión $T(v) = \frac{3v^2 - 12}{v - 2}$ para $v \neq 2$. ¿A qué valor tiende la temperatura cuando el voltaje se aproxima a $2\text{ V}$?

Estudia la existencia del límite de la siguiente función en el punto donde se anula el valor absoluto, calculando previamente sus límites laterales:

$\lim_{x \to 4} \frac{|x - 4|}{x - 4}$

Calcula el siguiente límite lateral de una función logarítmica. Justifica el signo del infinito resultante:

$\lim_{x \to 3^+} \ln(x - 3)$

El área de un triángulo depende de un parámetro $x$ según la función $A(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$. Calcula el límite del área cuando el parámetro $x \to 5$.

Analiza la gráfica adjunta de la función $f(x)$. Determina el valor de los límites $\lim_{x \to -1} f(x)$ y $\lim_{x \to 2} f(x)$, indicando si son finitos, infinitos o no existen.

Resuelve el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $0/0$ con raíces en el numerador y en el denominador:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{2x + 5} - 3}$

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que existan los límites de la función $f(x)$ en los puntos de cambio de definición $x = 0$ y $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 1 & \text{si } 0 \le x < 2 \\ bx - a & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite sea un número real finito, y calcula el valor de dicho límite:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + kx - 3}{x^2 - 1}$

El beneficio marginal de una empresa, en miles de dólares, al producir $x$ toneladas de un producto viene dado por la función $B(x) = \frac{1000x - 1000}{x^2 - 1}$. ¿A qué valor tiende el beneficio marginal cuando la producción se acerca a $1\text{ tonelada}$?

Calcula el siguiente límite trigonométrico utilizando las identidades fundamentales para resolver la indeterminación:

$\lim_{x \to \pi/2} \frac{1 - \sin(x)}{\cos^2(x)}$

La posición de un móvil en función del tiempo $t$ viene dada por $s(t) = \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t}$. Calcula la velocidad instantánea en el instante $t = 0$, que se define como el límite de la posición dividido por el tiempo cuando $t \to 0$.

Resuelve el siguiente límite operando las fracciones algebraicas para deshacer la indeterminación $\infty - \infty$:

$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$

Un punto $P(x, f(x))$ se mueve sobre la parábola $f(x) = x^2$. Se traza una recta secante que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0)$ y por el punto $P$. Calcula el límite de la pendiente de dicha recta secante cuando la coordenada $x$ del punto $P$ tiende a $0$.