Ejercicios: Límite de una función cuando x → a

Calcula el límite de la siguiente función racional mediante sustitución directa:

$\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x + 2}$

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación algebraica:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$

Determina los límites laterales de la función $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 5}$ cuando $x$ tiende a $5$ e indica si existe el límite global en dicho punto.

Resuelve el siguiente límite multiplicando por la expresión conjugada adecuada:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

Calcula el límite de la siguiente expresión que combina funciones trascendentes:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \cos(x)}{\ln(x+e)}$

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x < 1 \\ x^2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula $\lim_{x \to 1} f(x)$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$ y el valor de $f(2)$, y explica brevemente la diferencia entre ambos conceptos.

Calcula el siguiente límite factorizando los polinomios mediante la regla de Ruffini o identidades notables:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$

La tasa de crecimiento de una población de bacterias en un experimento de laboratorio viene dada por la expresión $C(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4}$ para $t \neq 4$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿A qué valor se aproxima la tasa de crecimiento cuando el tiempo se acerca a las $4$ horas?

Calcula el valor del parámetro $k$ para que exista el límite de la función $h(x)$ en $x = -2$:

$h(x) = \begin{cases} x^2 + kx & \text{si } x < -2 \\ \frac{8}{x} - k & \text{si } x > -2 \end{cases}$

Estudia si existe el límite $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ calculando previamente sus límites laterales por la izquierda y por la derecha.

El costo medio (en dólares) de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión está modelado por la función $C(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 100} - 10}{x^2}$. ¿Hacia qué valor tiende el costo medio cuando el nivel de producción $x$ es muy pequeño (es decir, cuando tiende a $0$)?

Resuelve el siguiente límite que presenta una doble indeterminación con radicales en el numerador y en el denominador:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{\sqrt{x} - 1}$

Calcula los límites laterales y el límite global (si existe) de la siguiente función racional en el punto de anulación de su denominador:

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{x^2 - 6x + 9}$

Observa la gráfica de la función $g(x)$, que representa el perfil de temperatura en una reacción química. Determina los límites laterales en $x = -2$ y el límite global en $x = 3$.

La posición de un móvil a lo largo de una trayectoria rectilínea en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la ecuación $s(t) = 3t^2 - t$ (en pies). La velocidad instantánea en el instante $t = 2$ se calcula mediante el límite $\lim_{t \to 2} \frac{s(t) - s(2)}{t - 2}$. Calcula el valor de dicha velocidad instantánea.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que existan los límites de la función $f(x)$ en los puntos de ruptura $x = 0$ y $x = 3$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 0 \\ 2x - a & \text{si } 0 < x < 3 \\ \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ sabiendo que se cumple la siguiente igualdad de límites:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + mx + n}{x + 1} = 4$

En el diseño estructural de una viga, el esfuerzo cortante $E(x)$ a una distancia $x$ pies del soporte principal viene dado por la función racional $E(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}{x^3 - 4x^2 + 5x - 2}$. Calcula el límite del esfuerzo cortante cuando $x$ se acerca a $1$ pie, punto crítico donde se produce un cambio de sección transversal.

Calcula el siguiente límite que involucra raíces de distinto índice. (Sugerencia: puedes utilizar un cambio de variable adecuado, como $x = t^6$, para simplificar los radicales).

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$

La concentración de un anestésico en el torrente sanguíneo $t$ horas después de su administración intramuscular está dada por el modelo matemático $C(t) = \frac{1 - \sqrt{1 - t^2}}{t^2}$ para el intervalo $0 < t < 1$. ¿Cuál es el límite de la concentración cuando el tiempo $t$ se aproxima a $0$?

Determina el valor del parámetro $a > 0$ para que se cumpla la siguiente condición sobre el límite:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}}{x} = \frac{1}{4}$

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, determina el valor de los límites laterales $\lim_{x \to 1^-} (h(x))^2$ y $\lim_{x \to 1^+} (h(x))^2$. A continuación, justifica si existe el límite global $\lim_{x \to 4} \frac{1}{h(x)}$.

Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{|x^2 - 9|}{x - 3}$ en los puntos $x = -3$ y $x = 3$. A partir de los resultados obtenidos, indica si existen los límites globales en dichos puntos.