Ejercicios: Cálculo de límites

Calcula el valor del siguiente límite sustituyendo directamente:

$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x + 1}{x + 3}$

Determina el límite en el infinito del siguiente polinomio prestando atención a los signos:

$\lim_{x \to -\infty} (-4x^3 + 2x^2 - 5x + 1)$

Calcula el límite de la siguiente función racional cuando $x$ tiende a infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 4x - 1}$

Halla el valor del siguiente límite observando los grados del numerador y del denominador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 7}{x^3 + 2x^2 - 5}$

Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$

Calcula los límites laterales de la función en $x = 1$ e indica si existe el límite ordinario:

$\lim_{x \to 1} \frac{2x}{x - 1}$

Determina el valor de los siguientes límites exponenciales basándote en el valor de sus bases:

$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{4}{3}\right)^x$ y $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x$

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Resuelve la siguiente indeterminación del tipo $\infty - \infty$ operando previamente las fracciones algebraicas:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3 + 1}{x^2 - 2} - \frac{x^2 - 3}{x + 1} \right)$

Calcula el siguiente límite multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada adecuada:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 16}$

Determina el valor del siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, utilizando la fórmula del número $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^{3x}$

La concentración de un cierto fármaco en la sangre de un paciente, medida en miligramos por litro, varía con el tiempo $t$ (en horas) según la función $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 4}$. Calcula la concentración a largo plazo, es decir, evalúa el límite cuando $t \to +\infty$ e interpreta el resultado.

El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0.2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite exista y sea un número real, y a continuación calcula dicho límite:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$

Resuelve la siguiente indeterminación con radicales en el infinito multiplicando por el conjugado:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$

Según la teoría de la relatividad especial, la masa relativista de un objeto que se mueve a una velocidad $v$ viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Calcula el límite de la masa relativista cuando la velocidad del objeto se aproxima a la velocidad de la luz ($\lim_{v \to c^-} m(v)$) e interpreta matemáticamente por qué un objeto con masa no puede alcanzar dicha velocidad.

Resuelve el siguiente límite aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de evaluar la tendencia en el infinito:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^3 + 2x) - \ln(x^2 - 1)}{\ln(5x) - \ln(x + 3)}$

Determina el valor del parámetro $a$ para que el siguiente límite exponencial resulte en $e^4$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 - x + 3} \right)^{2x}$

El costo total de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión viene dado por la función $C(x) = 5000 + 12x + 0.05x^2$ dólares. El costo medio por unidad es $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Calcula el límite del costo medio cuando el número de unidades producidas tiende a infinito y explica qué significa este resultado para la viabilidad de la empresa a gran escala.

Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.