Ejercicios: Problemas de límites y continuidad
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcule el…
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcule el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interprete el significado físico de este resultado.
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo…
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en dólares), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:…
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en dólares), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudie la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indique si hay algún salto brusco en la tarifa.
La distancia recorrida por un móvil en pies viene dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante…
La distancia recorrida por un móvil en pies viene dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcule el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $\$C_m(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$. Calcule el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty…
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $\$C_m(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$. Calcule el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$ y explique su significado económico en términos de costos de producción.
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcule el límite de $C(t)$…
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcule el límite de $C(t)$ cuando $t \to \infty$ y razone qué le ocurre al fármaco en el organismo con el paso del tiempo.
Un tanque de agua de $100$ galones se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$…
Un tanque de agua de $100$ galones se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$ está en minutos ($0 \le t \le 60$). Calcule el límite de $V(t)$ cuando $t \to 60^-$ e interprete el resultado.
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de…
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halle el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de dólares) se rige por la siguiente ley:…
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de dólares) se rige por la siguiente ley:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días…
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días transcurridos desde el inicio del brote. Calcule el número de infectados en el instante inicial ($t=0$) y el límite cuando $t \to \infty$. ¿Qué representa este límite en el contexto epidemiológico?
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en dólares y $D(p)$ la cantidad demandada, válida…
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en dólares y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para $p \neq 10$. Calcule analíticamente el límite de la demanda cuando el precio $p$ se acerca a $\$10$. ¿Por qué crees que el modelo matemático presenta una discontinuidad (un "hueco") exactamente en $p=10$?
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores…
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos a $T = 3$ (una temperatura crítica en un ensayo de laboratorio). Calcule el límite de la eficiencia cuando $T \to 3$ para determinar el valor teórico continuo en ese punto.
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite…
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de periodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $\$C_0 = 5000$ y la tasa anual es $r = 0.04$, calcule el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determine el saldo al cabo de $t = 10$ años.
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es…
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Calcule el límite de $E_c$ cuando $v \to c^-$. ¿Qué implicación física tiene este resultado respecto a la posibilidad de que una partícula masiva alcance la velocidad de la luz?
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:…
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Halle los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos:…
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcule el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta…
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta recta interseca al eje de abscisas en un punto $Q$. Calcule las coordenadas del punto $Q$ en función de $x$ y halle el límite de la posición de $Q$ cuando el punto $P$ se aleja hacia el infinito ($x \to \infty$).
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el…
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Se sabe que a muy largo plazo el número de infectados se estabiliza en $50$ mil, que en el instante inicial $t=0$ había $10$ mil infectados, y que el límite de la función cuando $t \to 1$ es $35$. Halle los parámetros $a, b, c$.
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en…
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en segundos. Para evitar un fallo en el software, el ingeniero debe asignar un valor a $h(3)$. Estudie los límites laterales en $t=3$. ¿Es posible definir $h(3)$ para que la función sea continua? Explique las consecuencias físicas de este comportamiento.
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y…
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde $x$ son los meses de uso continuo. Se quiere saber si la diferencia de costo entre ambos servidores se estabiliza con el tiempo. Calcule $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de dólares) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$…
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de dólares) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en dólares ($x \ge 0$). Demuestre, justificando su respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función…
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$, calcule el límite de la biomasa cuando $t \to \infty$.
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de dólares. Se sabe que la función tiene una…
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de dólares. Se sabe que la función tiene una asíntota vertical en $p = 1$ pero NO tiene asíntota vertical en $p = 3$ (la discontinuidad en $p=3$ es evitable). Sabiendo que el límite de la demanda cuando $p \to 3$ es $2$, halle los parámetros $a$ y $b$.
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$.…
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$. Calcule el límite de la amplitud cuando $t \to 0^+$ (recuerde que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) y cuando $t \to \infty$. Interprete el comportamiento del péndulo tanto en el instante inicial como a largo plazo.