Ejercicios: Monotonía y extremos de una función

Calcule la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿se puede deducir si la función es, en promedio, creciente o decreciente en dicho intervalo?

Observe la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifique las coordenadas de los puntos $A$ y $B$, y clasifíquelos como máximos o mínimos relativos. A continuación, escriba los intervalos donde la función es estrictamente creciente y donde es estrictamente decreciente.

Halle analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indique si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.

Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestre que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$.

La siguiente gráfica representa una función cuadrática. Determine las coordenadas de su vértice $V$. ¿Se trata de un máximo o un mínimo? ¿Es relativo, absoluto, o ambos?

Calcule la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento de la función en ese intervalo?

Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. La altura en pies que alcanza en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. Calcule el instante en el que la piedra alcanza su altura máxima y determine cuál es dicha altura.

Compruebe si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúe la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a su izquierda y derecha, por ejemplo $x = 2.9$ y $x = 3.1$.

En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcule la Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 4]$ e interprete el significado del resultado en el contexto del problema.

La siguiente gráfica muestra una función definida a trozos. A partir de ella, determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Identifique también las coordenadas del mínimo absoluto e indique si existe algún máximo. Cada cuadrado de la cuadrícula equivale a $1$ unidad en ambos ejes.

Halle el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$, calcule dicho valor máximo.

La ganancia de una empresa de componentes electrónicos, expresada en miles de dólares, viene dada por la función $B(x) = -2x^2 + 80x - 300$, donde $x$ es el número de lotes producidos. ¿Cuántos lotes debe producir la empresa para maximizar su ganancia? ¿A cuánto asciende dicha ganancia máxima?

Demuestre algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es strictly creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, tome dos valores cualesquiera $x_1$ y $x_2$ tales que $x_1 < x_2$ y compruebe que $f(x_1) < f(x_2)$.

La temperatura en el interior de un reactor químico durante las primeras horas de un proceso sigue la función $T(t) = -0.2t^2 + 2.4t + 20$, con $t$ en horas y $T$ en grados Fahrenheit. Determine la temperatura máxima alcanzada y el intervalo de tiempo en el que la temperatura del reactor está disminuyendo.

Calcule y compare la Tasa de Variación Media de las funciones $f(x) = 3^x$ y $g(x) = 2x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un crecimiento promedio mayor en dicho intervalo?

Determine los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puede justificar su respuesta analizando la Tasa de Variación Media en intervalos genéricos o apoyándose en las propiedades gráficas de las hipérbolas.

Un agricultor dispone de $120$ pies de valla para cercar un huerto rectangular. Uno de los lados del huerto estará apoyado contra el muro recto de un granero, por lo que no necesitará valla en ese lado. Encuentre las dimensiones del huerto que hacen que su área sea máxima y calcule dicha área.

Se sabe que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ alcanza un máximo relativo en el punto $(3, 10)$ y corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 1)$. Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. Posteriormente, escriba los intervalos donde la función es estrictamente creciente y estrictamente decreciente.

Demuestre que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, pruebe algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple para cualquier número real $x$.

Una fábrica vende un determinado producto a un precio unitario que depende de la demanda, dado por la función $p(x) = 200 - 0.5x$ (en dólares), donde $x$ es la cantidad de unidades vendidas. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 50x + 2000$. Encuentre la función de ganancia $B(x)$, determine el nivel de producción que maximiza la ganancia y calcule la ganancia máxima.

La siguiente gráfica representa una función racional con una asíntota vertical y otra oblicua. Observando la gráfica, identifique las coordenadas aproximadas de sus extremos relativos (máximo y mínimo local). A continuación, escriba los intervalos en los que la función es creciente y en los que es decreciente.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$

Estudie analíticamente sus intervalos de monotonía y halle las coordenadas de sus extremos relativos o absolutos. Justifique si el punto de cambio de rama ($x=4$) representa algún tipo de extremo.

La concentración de un medicamento en sangre, medida en mg/L, en función de las horas transcurridas desde su administración, se modela mediante la función $C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$ para $t \ge 0$. Observe la gráfica adjunta. Estime el instante en el que la concentración es máxima. Luego, calcule la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 6]$ para confirmar analíticamente el cambio de monotonía.

Demuestre que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcule su máximo absoluto y determine de forma exacta el intervalo en el que la función es estrictamente decreciente.