Ejercicios: Continuidad de funciones

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Determina analíticamente si la función es continua en el punto $x = 2$.

Determina el dominio de la función $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ y justifica en qué intervalos la función es continua.

Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o de salto infinito.

Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.

Analiza la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6}$. Encuentra los puntos donde no es continua y especifica de qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso.

Dada la función exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia su continuidad en el punto $x = 1$ calculando los límites laterales.

Comprueba si la siguiente función es continua en $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Encuentra el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x + 3} & \text{si } x \ne -3 \\ k & \text{si } x = -3 \end{cases}$

El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo de laboratorio se modela mediante la función $P(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $P(t)$ la población en miles de bacterias:

$P(t) = \begin{cases} 50(1 - e^{-0.2t}) & \text{si } 0 \le t < 10 \\ \frac{C}{t} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$

Calcula el valor de la constante $C$ para que el modelo poblacional sea una función continua en $t = 10$.

La tarifa de un estacionamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1.5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la función parte entera de $t$.

Identifica los puntos de discontinuidad de esta función en el intervalo $(0, 4)$ y explica el significado real de estas discontinuidades para un usuario del estacionamiento.

Calcula el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 3 & \text{si } x \le 1 \\ e^{x-1} + 2a & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema.

La temperatura de un horno industrial en grados Fahrenheit, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:

$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0.9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$

Determina el valor de $k$ para que no haya un salto brusco de temperatura a los 10 minutos. ¿Qué fenómeno físico representa la función a partir de $t = 10$?

Halla el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 4$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} & \text{si } x > 4 \\ kx + \frac{1}{4} & \text{si } x \le 4 \end{cases}$

El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la función, encuentra un intervalo de longitud 1 (es decir, $[n, n+1]$ con $n \in \mathbb{Z}$) donde se pueda garantizar la existencia de una raíz real, justificando tu respuesta.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$

Una empresa tecnológica estima que sus ingresos $I(x)$ y sus costos $C(x)$, ambos en millones de dólares y en función de los años $x$ de operación, vienen dados por:

$I(x) = 10 \ln(x + 1)$

$C(x) = e^{x - 2}$

Utilizando el Teorema de Bolzano, demuestra que existe un momento exacto entre el segundo y el quinto año de operación ($x \in [2, 5]$) en el que la empresa alcanza su punto de equilibrio (los ingresos igualan a los costos).

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4}$ presente una discontinuidad evitable en $x = 2$ y, además, el límite de la función en ese punto sea igual a $3$.

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ en el que la gráfica de la función interseca a la parábola $y = x^2$, es decir, demuestra que $f(c) = c^2$. (Pista: Define una función auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).

Halla los valores de $a$ y $b$ que hacen que la siguiente función, que incluye un valor absoluto, sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + ax & \text{si } x < 2 \\ b & \text{si } x = 2 \\ x^2 - ax + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

El nivel de carga de la batería de un vehículo eléctrico, $B(t)$ en porcentaje, desciende de forma continua durante un viaje. En el instante inicial $t = 0$ horas, la batería está al $100\%$. Al llegar al destino en $t = 5$ horas, la batería marca un $20\%$. Un ingeniero afirma que, en algún instante exacto del viaje, el porcentaje de batería coincidió numéricamente con la expresión $50 + 5t$.

Demuestra matemáticamente que el ingeniero tiene razón utilizando teoremas de continuidad.

Para el diseño de una montaña rusa, se deben empalmar dos tramos de vía. El perfil de la montaña rusa viene dado por la siguiente función definida a trozos, donde $x$ es la distancia horizontal en pies:

La ecuación del perfil es:

$f(x) = \begin{cases} \frac{100}{x + 10} + a & \text{si } 0 \le x < 10 \\ bx^2 - 2x + 15 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$

Sabiendo que el diseño exige que la vía sea continua en el punto de empalme $x = 10$, y que el Tramo 1 parte de una altura de $15\text{ m}$ en $x = 0$, calcula los valores de $a$ y $b$.

Estudia la continuidad de la función $f(x)$ y determina el valor de $k$ para que sea continua en $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ k & \text{si } x = 0 \\ \frac{\sin(x^2)}{2x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$