Ejercicios: Cálculo de límites de funciones

La temperatura de un componente electrónico (en grados Fahrenheit) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.

El número de bacterias en un cultivo sigue el modelo de crecimiento $B(x) = -2x^3 + 50x^2 + 1000$, donde $x$ son los días transcurridos. Determina el límite de $B(x)$ cuando $x \to +\infty$ e indica el comportamiento a largo plazo de este cultivo según el modelo matemático.

El costo medio de producción de $x$ miles de unidades de un artículo está dado por la función $C(x) = \frac{4x^2 + 150x}{2x^2 + 5}$. Calcula el límite del costo medio cuando el número de unidades producidas tiende a infinito.

Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$

Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.

Evalúa el límite de la siguiente función racional cuando la variable independiente tiende a menos infinito:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{7x^4 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 2x - 8}$

La velocidad de un vehículo de prueba (en pies/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.

Calcula el límite de la función exponencial $h(x) = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 8$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.

Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$

Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:

$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$

Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$

Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en dólares en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 0,15x + 5$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 200}{x}$. Halla el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$

La concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}$. Si el paciente no toma ninguna dosis adicional, halla el límite de la concentración cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el resultado.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$

Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.

Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente condición de límite:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 1} = 3$

Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$

Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.

Calcula el límite paramétrico $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - x} \right)^{ax+1}$ y determina el valor de $a$ para que el resultado exacto sea $e^2$.

La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.

Calcula el siguiente límite en el infinito que involucra funciones exponenciales de distintas bases:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3^{x+1} - 5^x}{2^x + 5^{x-1}}$

Sea la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Encuentra la ecuación de la recta asíntota oblicua $y = mx + n$ de esta función calculando rigurosamente los límites $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$.