Ejercicios: Rango de una matriz

Calcule el valor del determinante de la siguiente matriz $A$ de orden 2. Este valor representa el factor de escala de una transformación geométrica en el plano:

Halle el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus:

Dada la matriz $M$, calcule el valor del parámetro real $x$ para que su determinante sea igual a $10$:

En la matriz $C$, identifique el elemento $a_{23}$ y calcule su adjunto (cofactor) $A_{23}$:

Determina el rango de la siguiente matriz $A$ observando la relación entre sus filas:

Si sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es $|A| = 5$, ¿cuál será el valor del determinante de la matriz $2A$? Aplica las propiedades de los determinantes para justificar tu respuesta.

Calcula el rango de la matriz $B$ buscando el menor de mayor orden que sea distinto de cero:

Calcula de forma rápida el determinante de la siguiente matriz triangular superior razonando tu respuesta:

Dada una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 4$, utilice las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A^{-1}|$

1. b) $|2 \cdot A \cdot A^t|$

1. c) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera columna por $-3$.

En el diseño de un motor gráfico para un videojuego, se requiere que una matriz de transformación $M$ sea invertible para poder deshacer movimientos. Dada la matriz:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$

1. a) Halle los valores del parámetro real $m$ para los cuales la matriz $M$ no posee inversa.

1. b) Para el valor $m = 2$, calcule el valor del determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.

Estudie el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

Determine para qué valores de $k$ el rango es $1$, $2$ o $3$.

Sabiendo que el valor del determinante de la matriz $3 \times 3$ formada por los vectores columna $\vec{c_1}$, $\vec{c_2}$ y $\vec{c_3}$ es igual a $5$, es decir, $|\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}| = 5$, calcule sin desarrollar el valor de:

$|\vec{c_1} + \vec{c_3}, \quad 2\vec{c_2}, \quad \vec{c_1} - \vec{c_3}|$

Justifique cada paso mencionando la propiedad de los determinantes que ha aplicado.

Calcule el valor del siguiente determinante de orden $4$ utilizando el método de Gauss para hacer ceros en una fila o columna antes de desarrollar por adjuntos:

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

Determine el rango de la matriz $B$ según los valores del parámetro real $a$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Recuerde que para una matriz de dimensiones $3 \times 4$, el rango máximo posible es $3$.

Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado expresada en forma de determinante:

$\begin{vmatrix} x & 1 & 3 \\ 1 & x & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

Obtenga las soluciones exactas (pueden contener raíces).

Dadas las matrices $A$ y $B$ de orden $3 \times 3$, se sabe que $A$ tiene rango $3$ y que el determinante de $B$ es $|B| = 0$.

1. a) ¿Cuál es el valor del determinante del producto $|A \cdot B|$? Razone la respuesta.

1. b) ¿Es posible que el rango de la matriz producto $A \cdot B$ sea $3$? Explique por qué basándose en la relación entre el determinante y el rango.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcule el valor del determinante de la matriz $B$, definida como:

donde $A^t$ es la traspuesta de $A$ y $Adj(A)$ es su matriz adjunta. Razone cada paso de su cálculo indicando la propiedad aplicada.

Un ingeniero de robótica está programando el movimiento de un brazo mecánico en el espacio tridimensional. Los sensores detectan tres vectores de fuerza que determinan la estabilidad del sistema. La matriz que representa dichas fuerzas es:

Se pide:

1. Determine el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k$.

2. ¿Existe algún valor de $k$ para el cual las fuerzas sean linealmente dependientes pero el rango de la matriz sea máximo? Explique su respuesta basándose en la teoría de menores.

Calcule, sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante de orden 4, aplicando transformaciones elementales para hacer ceros y simplificar el cálculo:

¿Qué condición deben cumplir $a, b$ y $c$ para que el rango de la matriz asociada sea exactamente 2?

Estudie la dependencia lineal de las filas de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

Determine para qué valores de $(a, b)$ el rango de $A$ es igual a 1. Describa geométricamente qué relación guardan los vectores fila cuando esto ocurre.

Dada la matriz cuadrada de orden 3:

1. Demuestre que $|A|$ es independiente del valor de la variable $x$.

2. Si definimos una nueva matriz $B = A - \lambda I$ (donde $I$ es la identidad), encuentre los valores de $\lambda$ para los cuales el rango de $B$ es menor que 3 cuando $x = \frac{\pi}{4}$.

En un sistema de telecomunicaciones, la señal se pierde si el determinante de la matriz de transmisión se anula. La matriz de transmisión viene dada por:

1. Sabiendo que es un determinante de Vandermonde, expréselo como un producto de factores lineales.

2. Si fijamos $a=2$ y $b=5$, discuta el rango de $T$ según los valores que pueda tomar el parámetro $m$. ¿Para qué valor de $m$ el rango es mínimo?

Considere la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyas columnas son $C_1, C_2, C_3$. Se sabe que $|A| = 5$. Calcule el valor del determinante de la matriz $M$ cuyas columnas son:

Si sustituimos la tercera columna de $M$ por el vector nulo, ¿cuál sería el rango de la nueva matriz? Justifique su respuesta sin realizar cálculos numéricos detallados.

Dada la matriz:

1. Halle los valores de $\alpha$ para los cuales la matriz no tiene inversa.

2. Para los valores hallados en el apartado anterior, calcule el rango de la matriz $A^2$.

3. ¿Es posible encontrar un valor de $\alpha$ tal que $rg(A) \neq rg(A^2)$? Argumente su respuesta basándose en las propiedades del rango y los determinantes.