Ejercicios: Secciones cónicas y lugares geométricos

Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?

Determine las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.

Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.

Halle el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.

Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifique su respuesta basándose en la definición geométrica de las secciones cónicas.

Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.

Halle las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.

Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.

En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en millas). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halle la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifique de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.

El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determine la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.

Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en pies). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halle la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.

En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de millas). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtenga la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.

En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcule las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.

El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determine la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifique qué tipo de cónica representa.

Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halle la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describa la figura resultante.

Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcule las coordenadas del centro original del plato y su radio.

Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determine la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?

Demuestre analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escriba la ecuación general obtenida antes de clasificarla.

En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halle la ecuación del lugar geométrico y demuestre que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.

Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halle analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describa la figura resultante.

En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentre la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifique la cónica.

En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestre que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determine la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.

Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduzca la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.

Un dron de topografía vuela de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos balizas emisoras situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halle la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y demuestre analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos balizas.