Ejercicios: Elipse

Dada la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, determine las coordenadas de sus vértices, las de sus focos y el valor de su excentricidad.

Escriba la ecuación reducida de una elipse centrada en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de sus focos es el punto $F(4, 0)$ y que la longitud de su eje mayor es $10$.

Calcule la excentricidad de la elipse cuya ecuación es $16x^2 + 25y^2 = 400$.

Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escriba su ecuación en forma canónica.

Compruebe si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Halle la ecuación de una elipse centrada en el origen, cuyos focos están sobre el eje de ordenadas, sabiendo que la distancia focal es de $8$ unidades y la excentricidad es $0,8$.

A partir de la ecuación de la elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indique las coordenadas de su centro y la longitud de sus semiejes.

La excentricidad de una elipse es $\frac{1}{3}$ y su semieje menor mide $4\sqrt{2}$. Calcule la medida de su semieje mayor.

La órbita de Mercurio alrededor del Sol es una elipse en la que el Sol ocupa uno de sus focos. La distancia mínima de Mercurio al Sol (perihelio) es de $46$ millones de millas, y la distancia máxima (afelio) es de $70$ millones de millas. Calcule la excentricidad de la órbita de Mercurio y la longitud de su semieje menor en millones de millas.

Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. El ancho del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el centro del río es de $6\text{ m}$. Calcule a qué altura se encuentra el arco a una distancia de $4\text{ m}$ del centro del río.

Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestre que corresponde a una elipse. Para ello, exprésela en forma canónica y determine las coordenadas de su centro, sus vértices y sus focos.

Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya suma de distancias a los puntos $F_1(-3, 0)$ y $F_2(3, 0)$ es siempre igual a $10$. Simplifique la expresión hasta obtener la ecuación reducida de una elipse.

En la galería de los murmullos, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería tiene una longitud total de $34\text{ m}$ y un ancho máximo de $16\text{ m}$, ¿a qué distancia del centro de la sala debe situarse cada persona para aprovechar este fenómeno acústico?

Estudie la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halle las coordenadas de los puntos de intersección.

Determine el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$. Identifique la cónica resultante y calcule su centro y la longitud de sus semiejes.

En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño pasador en un punto de la elipse cuya abscisa sea el doble que su ordenada. Calcule las coordenadas de dicho punto (asumiendo que ambas son positivas) y la distancia exacta de este punto al centro del engranaje.

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.

Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que son paralelas a la recta de ecuación $x - y + 4 = 0$.

Calcule los valores del parámetro $k$ para que la recta $x + 2y + k = 0$ sea tangente a la elipse de ecuación $x^2 + 4y^2 = 20$.

Considere la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero su ordenada es el $60\%$ de la ordenada de $A$. Demuestre que el lugar geométrico de los puntos $P$ es una elipse y determine su ecuación, su centro y sus focos.

Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes de la elipse. Si se desea que el rectángulo tenga un área total de $24\text{ m}^2$, ¿cuáles deben ser sus dimensiones exactas?

Una plaza principal tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado en el primer cuadrante. Se sabe que el eje mayor de la plaza mide $100\text{ m}$ y el eje menor $60\text{ m}$. Si el ángulo que forma el segmento $F_1P$ con el semieje positivo de abscisas es de $60^\circ$, calcule la longitud exacta del camino pavimentado.

Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos $A(2, \sqrt{3})$ y $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, halle la ecuación de la elipse y calcule la distancia exacta entre sus focos.

Halle el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el punto fijo $A(6, 0)$. Demuestre que dicho lugar geométrico es una elipse, halle su ecuación canónica y determine las coordenadas de sus focos.