Vectors i espais vectorials
A 1r de Batxillerat vas treballar amb vectors del pla: dos nombres bastaven per descriure'ls. Però un dron no només es mou cap endavant i cap a un costat, també puja o baixa; una peça mecànica no només té llargada i amplada, també alçada. Per descriure l'espai real cal una tercera coordenada, i gairebé tot el que ja saps de vectors s'estén de manera natural.
Vectors amb tres coordenades
Expressa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ com a combinació lineal dels vectors de la base canònica de $\mathbb{R}^3$, és a dir, en funció de $\vec{i} = (1, 0, 0)$,…
Expressa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ com a combinació lineal dels vectors de la base canònica de $\mathbb{R}^3$, és a dir, en funció de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ i $\vec{k} = (0, 0, 1)$.
El vector $\vec{AB}$ i el seu mòdul
Un dron de vigilància s'enlaira des d'una plataforma situada en el punt $A(1, -2, 5)$ i es desplaça en línia recta fins a assolir un objectiu en el punt $B(4, 3, -1)$.…
Un dron de vigilància s'enlaira des d'una plataforma situada en el punt $A(1, -2, 5)$ i es desplaça en línia recta fins a assolir un objectiu en el punt $B(4, 3, -1)$. Calcula les components del vector de desplaçament $\vec{AB}$ i obtén el seu mòdul per conèixer la distància recorreguda pel dron.
Suma i producte per un escalar
Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realitza les operacions analítiques següents: a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ b)…
Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realitza les operacions analítiques següents:
- a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$
- b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$
- c) Calcula el valor de l'escalar $k$ si se sap que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.
Combinació lineal i dependència
Determina si els vectors $\vec{a} = (1, -2, 4)$ i $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ són linealment dependents. Justifica la teva resposta comprovant si les seves coordenades són…
Determina si els vectors $\vec{a} = (1, -2, 4)$ i $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ són linealment dependents. Justifica la teva resposta comprovant si les seves coordenades són proporcionals i explica quina relació geomètrica hi ha entre ells (són paral·lels?).
Calcula el valor del paràmetre $m$ perquè el vector $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sigui combinació lineal dels vectors $\vec{v} = (1, 0, 2)$ i $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mitjançant…
Calcula el valor del paràmetre $m$ perquè el vector $\vec{u} = (m, 2, 4)$ sigui combinació lineal dels vectors $\vec{v} = (1, 0, 2)$ i $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mitjançant l'expressió $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.
Punts, vectors de posició i aplicacions
En el disseny d'una estructura metàl·lica, dues bigues s'uneixen en els seus extrems representats pels punts $P(2, 5, -3)$ i $Q(8, -1, 7)$. Per reforçar l'estructura,…
En el disseny d'una estructura metàl·lica, dues bigues s'uneixen en els seus extrems representats pels punts $P(2, 5, -3)$ i $Q(8, -1, 7)$. Per reforçar l'estructura, s'ha de col·locar un suport exactament en el punt mitjà del segment $PQ$. Troba les coordenades d'aquest punt mitjà $M$.
Tres estacions de ràdio estan situades en els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ i $C(5, 3, -1)$. Comprova si les tres estacions estan alineades (pertanyen a la mateixa…
Tres estacions de ràdio estan situades en els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ i $C(5, 3, -1)$. Comprova si les tres estacions estan alineades (pertanyen a la mateixa línia recta) estudiant la proporcionalitat dels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$.
Considera un paral·lelogram on tres dels seus vèrtexs consecutius són $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ i $C(5, 5, 3)$. Utilitzant la igualtat entre vectors (per exemple,…
Considera un paral·lelogram on tres dels seus vèrtexs consecutius són $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ i $C(5, 5, 3)$. Utilitzant la igualtat entre vectors (per exemple, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula les coordenades del quart vèrtex $D$.
Equacions de la recta a l'espai
Una recta queda determinada per un punt $A(a_1,a_2,a_3)$ i un vector director no nul $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$. La seva equació vectorial és $\vec{OP}=\vec{OA}+t\vec v$, $t\in\mathbb R$. Per components:
$$x=a_1+tv_1,\qquad y=a_2+tv_2,\qquad z=a_3+tv_3.$$Són les equacions paramètriques. Si les tres components del director són no nul·les, aïllar t dona la forma contínua:
$$\frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}=\frac{z-a_3}{v_3}.$$Si una component és zero, conserva aquesta coordenada constant: no dividisquis entre zero. Per a la recta per dos punts diferents A i B pots prendre $\vec v=\vec{AB}$.
El paràmetre recorre posicions sobre una direcció fixa:
Tria la forma segons la tasca: paramètriques per generar punts o modelar moviment; dos plans per resoldre interseccions mitjançant sistemes. Per extreure el director de dos plans secants, serveix el producte vectorial de les seves normals.