Producte vectorial

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$ i $\vec{v} = (0, 4, 1)$, calcula el seu producte vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ utilitzant la regla del determinant amb els vectors de la base canònica $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Donats els vectors unitaris dels eixos de coordenades $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ i $\vec{k} = (0, 0, 1)$, calcula els productes vectorials següents:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Raona, tenint en compte els resultats, si el producte vectorial compleix la propietat commutativa.

Troba l'àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors $\vec{u} = (5, 0, 0)$ i $\vec{v} = (2, 3, 0)$. Quina relació observes entre aquest resultat i l'àrea d'un rectangle de base 5 i altura 3 situat en el pla $XY$?

Determina l'àrea del triangle els vèrtexs del qual són els punts de l'espai $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 2)$ i $C(1, 2, 5)$.

Calcula un vector que sigui perpendicular simultàniament a $\vec{a} = (1, 1, 1)$ i $\vec{b} = (3, 0, 2)$. Comprova el resultat realitzant el producte escalar del vector obtingut per $\vec{a}$.

Troba un vector que sigui perpendicular al pla que passa pels punts $P(0, 0, 0)$, $Q(1, 2, 3)$ i $R(2, 0, 1)$.

En el disseny d'una peça industrial, es necessita conèixer la direcció de la recta $r$ que resulta de la intersecció de dos plans les normals dels quals són $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ i $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$. Sabent que el vector director de la recta és perpendicular a totes dues normals, utilitza el producte vectorial per trobar-lo.

Demostra, utilitzant les propietats del producte vectorial, que per a qualsevol parella de vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ de l'espai, es compleix la igualtat següent:

A continuació, verifica el resultat per als vectors $\vec{u} = (1, 0, -1)$ i $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Donats els vectors $\vec{a} = (2, -1, 0)$ i $\vec{b} = (1, 2, -2)$, troba un tercer vector $\vec{c}$ de manera que el conjunt $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ formi una base ortogonal de l'espai (és a dir, que siguin perpendiculars entre si dos a dos).

Un equip de topògrafs està mesurant una parcel·la triangular en un terreny accidentat. Han determinat que els vèrtexs del triangle, referits a un sistema de coordenades cartesianes en metres, són $A(1, 0, 2)$, $B(3, 4, 0)$ i $C(5, 1, -3)$. Calcula l'àrea d'aquesta parcel·la utilitzant el producte vectorial.

Un enginyer ambiental està calculant l'eficiència d'un panell solar pla. El panell està definit pels punts $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, 1)$ i $R(1, 2, 4)$. Per maximitzar la captació d'energia, necessita conèixer el vector normal unitari a la superfície del panell. Troba aquest vector.