Experiments aleatoris

Classifica els experiments següents com a deterministes o aleatoris, justificant breument la teva resposta en cada cas:

1. a) Deixar anar un telèfon intel·ligent des d'una altura d'un metre i observar si cau cap al terra.
2. b) Obrir una llista de reproducció en mode aleatori i anotar quina és la primera cançó que sona.
3. c) Calcular el temps que triga un cotxe a recórrer $200$ km si circula a una velocitat constant de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que vegis pel carrer en quin mes va néixer.
5. e) Extreure una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes i observar-ne el pal.

Extreiem una bola d'una urna que conté $5$ boles numerades del $1$ al $5$. Indica si els successos següents són possibles, segurs o impossibles:

1. a) $A = \text{"obtenir un nombre més gran que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtenir el nombre 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtenir un nombre parell"}$.
4. d) $D = \text{"obtenir un nombre més petit o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtenir un nombre negatiu"}$.

En un grup de 2n de Batxillerat, s'analitzen les subscripcions a plataformes de streaming. Anomenem $A$ el succés "estar subscrit a Netflix" i $B$ el succés "estar subscrit a Spotify". Expressa amb paraules el significat dels successos següents relacionats amb les operacions de conjunts:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o succés contrari de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

En un nou joc de taula estratègic, un jugador ha de llançar un dau tetraèdric (cares numerades del $1$ al $4$) i, simultàniament, extreure una carta d'una baralla reduïda que conté únicament els quatre asos i els quatre reis de la baralla espanyola.

Considerant l'experiment aleatori d'anotar el número del dau i el valor de la carta (As o Rei):

1. a) Descriu l'espai mostral $E$ de l'experiment.
2. b) Siguin els successos:

$A$ = "Obtenir un número parell al dau".

$B$ = "Obtenir un as de qualsevol pal".

$C$ = "Obtenir un número menor que $3$ al dau i que la carta sigui un rei".

Determina els elements que componen els successos $A \cup B$, $A \cap B$ i $B \cap C$.

Sigui $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ l'espai mostral d'un experiment aleatori. Donats els successos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ i $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtén els conjunts següents:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprova si es compleix la Primera Llei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Siguin $A, B$ i $C$ tres successos qualssevol d'un experiment aleatori. Demostra formalment, utilitzant les propietats de l'àlgebra de successos (distributiva, complementarietat, etc.), la identitat següent:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Explica quin nom rep aquesta operació en la teoria de conjunts i representa el succés resultant mitjançant un diagrama de Venn ombrejat.

Observa el diagrama de Venn següent que representa la distribució d'alumnes que practiquen Bàsquet ($B$) i Futbol ($F$) en un poliesportiu municipal.

A partir del gràfic, defineix mitjançant operacions de successos les regions següents:

1. a) Alumnes que practiquen tots dos esports.
2. b) Alumnes que practiquen bàsquet però no futbol.
3. c) Alumnes que practiquen almenys un dels dos esports.
4. d) Alumnes que no practiquen cap dels dos esports esmentats.

En un entorn de desenvolupament d'aplicacions mòbils, un programador està testejant la seguretat d'un sistema d'accés. Es defineix un experiment aleatori consistent a generar una clau aleatòria de 4 dígits utilitzant únicament els nombres $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Es consideren els successos següents:

• $A$: "La clau conté almenys dos dígits iguals consecutius".

• $B$: "La suma dels dígits de la clau és un nombre primer major que 15".

• $C$: "La clau és capicua (es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra)".

Descriu detalladament l'espai mostral $E$ indicant-ne el cardinal i utilitza l'àlgebra de successos per expressar simbòlicament els esdeveniments següents:

1. a) La clau no és capicua o bé la suma dels seus dígits no és un nombre primer major que 15.

1. b) La clau és capicua i té almenys dos dígits iguals consecutius, però la suma dels seus dígits no és un nombre primer major que 15.

1. c) Demostra si els successos $A$ i $C$ són compatibles o incompatibles justificant la teva resposta mitjançant un exemple d'un element de l'espai mostral.