Ja tens les eines: saps què és una integral definida, les seves propietats i la regla de Barrow per calcular-la. Toca fer-les servir per resoldre els problemes que de debò apareixen a l'examen: àrees entre corbes, magnituds que s'acumulen amb el temps i paràmetres desconeguts que es dedueixen d'una àrea.
El procediment sempre és el mateix: localitza els límits d'integració (si no te'ls donen, cerca'ls amb els punts de tall), troba una primitiva i aplica Barrow. Si la regió queda per sota de l'eix, recorda prendre el valor absolut.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$ <br>
Calcula el valor de la integral definida següent aplicant la regla de Barrow:
Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ i l'eix d'abscisses ($OX$). Nota: Recorda trobar primer els punts de tall de la funció amb…
Calcula l'àrea del recinte pla limitat per la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ i l'eix d'abscisses ($OX$). Nota: Recorda trobar primer els punts de tall de la funció amb l'eix.
Quan el recinte està limitat per dues funcions $f$ i $g$ en lloc de per l'eix $OX$, la idea és la mateixa però restant: en cada $x$, l'«alçada» del recinte és la distància entre les dues corbes.
Practica★★☆Sense començar
Calcula l'àrea del recinte pla delimitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 5x$ i $g(x) = x + 2$. Representa gràficament el recinte abans de fer el càlcul.…
Calcula l'àrea del recinte pla delimitat per les gràfiques de les funcions $f(x) = -x^2 + 5x$ i $g(x) = x + 2$. Representa gràficament el recinte abans de fer el càlcul.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Si una quantitat canvia amb una certa «velocitat» o «ritme», el total acumulat entre dos instants és la integral d'aquest ritme. És la mateixa idea que ja has fet servir amb les primitives, ara amb límits concrets.
Practica★☆☆Sense començar
La velocitat d'un cotxe de radiocontrol (en $m/s$) ve donada per la funció $v(t) = 2t + 1$. Determina la distància total recorreguda pel cotxe entre els instants $t = 1$…
La velocitat d'un cotxe de radiocontrol (en $m/s$) ve donada per la funció $v(t) = 2t + 1$. Determina la distància total recorreguda pel cotxe entre els instants $t = 1$ s i $t = 4$ s calculant la integral definida de la velocitat.
Una empresa de components electrònics ha determinat que el cost marginal de produir $x$ unitats d'un sensor és $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros per unitat. Calcula…
Una empresa de components electrònics ha determinat que el cost marginal de produir $x$ unitats d'un sensor és $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros per unitat. Calcula l'increment total del cost en augmentar la producció de $10$ a $20$ sensors.
Funcions definides per una integral: rectes tangents
Recorda de l'apartat anterior que si $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, llavors $F'(x)=f(x)$ pel teorema fonamental. Això et permet trobar la recta tangent a $F$ sense calcular cap primitiva: només necessites $F$ en un punt (una integral amb límits numèrics) i $F'$ en aquest punt (el valor de $f$ allà).
Practica★☆☆Sense començar
Donada la funció integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utilitza el teorema fonamental del càlcul per trobar el valor de la seva derivada en el punt…
Donada la funció integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utilitza el teorema fonamental del càlcul per trobar el valor de la seva derivada en el punt $x = 4$, és a dir, calcula $F'(4)$.
Sigui la funció $F(x)$ definida mitjançant la integral següent: $F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$ Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $F(x)$…
Sigui la funció $F(x)$ definida mitjançant la integral següent:
$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$
Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $F(x)$ en el punt d'abscissa $x = \sqrt{3}$.
Molts problemes donen el valor de l'àrea i pregunten per una constant de la funció o dels límits d'integració. El mètode: planteja la integral amb la incògnita a dins, aplica Barrow i iguala el resultat a l'àrea donada.
Practica★★☆Sense començar
Determina el valor del paràmetre positiu $k > 0$ perquè l'àrea del recinte limitat per la paràbola $y = kx^2$ i la recta $y = 4$ sigui exactament de $16$ unitats…
Determina el valor del paràmetre positiu $k > 0$ perquè l'àrea del recinte limitat per la paràbola $y = kx^2$ i la recta $y = 4$ sigui exactament de $16$ unitats quadrades.