Variable aleatòria

Una app d'atzar genera nombres enters del $1$ al $4$, tots amb la mateixa probabilitat. Sigui $X$ el nombre generat.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de $X$ en forma de taula.
2. b) Calcula la mitjana $\mu$.
3. c) Calcula la desviació típica $\sigma$, arrodonint a les centèsimes.

Una variable aleatòria discreta $X$ pren els valors $1$, $2$, $3$ i $4$ amb aquesta funció de probabilitat incompleta:

1. a) Calcula el valor de $k$.
2. b) Troba $P[X \ge 3]$.
3. c) Troba $P[X < 2]$.

Indica, raonadament, quines de les taules següents poden ser la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta:

• Taula 1: valors $1$, $2$, $3$ amb probabilitats $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Taula 2: valors $1$, $2$, $3$, $4$ amb probabilitats $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Taula 3: valors $1$, $2$, $3$, $4$ amb probabilitats $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

En cada cas, enuncia la condició (o condicions) que es compleixen o es violen.

La funció de distribució d'una variable aleatòria discreta $X$ ve donada per:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcula $P[X \le 2]$.
2. b) Calcula $P[X = 2]$.
3. c) Calcula $P[X > 1]$.

La figura mostra la funció de distribució $F(x)$ d'una variable aleatòria discreta $X$ que pren els valors $0$, $1$, $2$ i $3$.

1. a) Dedueix de la gràfica la funció de probabilitat de $X$ (els valors $p_i = P[X = x_i]$) i escriu-la en forma de taula.
2. b) Calcula $P[1 \le X < 3]$ a partir de la funció de distribució.
3. c) Troba la mitjana de $X$.

En una bossa d'un joc de taula hi ha $20$ targetes de punts: $6$ targetes amb un $1$, $4$ targetes amb un $2$ i $10$ targetes amb un $3$. S'extreu una targeta a l'atzar i se n'anota la puntuació $X$.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de $X$ en forma de taula.
2. b) Calcula la mitjana $\mu$ i interpreta-la: quina puntuació mitjana per carta es pot esperar a llarg termini?
3. c) Calcula la desviació típica $\sigma$, arrodonint a les centèsimes.

La Amina estudia la variable $X$ = «nombre d'avaries setmanals d'una fotocopiadora», amb aquesta distribució de probabilitat:

Ha calculat la mitjana, $\mu = 1,7$, i després ha escrit:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Revisa el seu càlcul de $\sum p_i \cdot x_i^2$ i comprova que és correcte.
2. b) Localitza l'error en la fórmula que ha aplicat per a la variància i corregeix-lo.
3. c) Calcula la desviació típica correcta.

L'AFA d'un institut organitza una rifa solidària: ven $200$ paperetes a $2\ \text{€}$ cadascuna, amb un premi de $100\ \text{€}$, quatre premis de $25\ \text{€}$ i deu premis de $5\ \text{€}$.

1. a) Escriu la funció de probabilitat de la variable $G$ = «guany net en comprar una papereta» (valor del premi menys els $2\ \text{€}$ que costa).
2. b) Calcula l'esperança de $G$.
3. c) Interpreta el signe del resultat: si l'esperança és negativa, on van a parar aquests diners? Contradiu això la finalitat solidària de la rifa?

En una parada de fira es juga amb dos daus cúbics: es guanyen $12\ \text{€}$ si surten dobles (els dos daus iguals), $6\ \text{€}$ si la suma és $7$, i res en qualsevol altre cas.

1. a) Calcula la probabilitat de cada premi i la de no guanyar res. (Tingues en compte que treure dobles i sumar $7$ són successos incompatibles; per què?)
2. b) Troba l'esperança del premi per partida i dedueix quin hauria de ser el preu de l'aposta perquè el joc fos equitatiu.
3. c) Si la parada cobra $4\ \text{€}$ per partida, a qui afavoreix el joc? Quant espera guanyar o perdre un jugador que juga $100$ partides?

Sigui $X$ una variable aleatòria discreta amb mitjana $\mu$ i desviació típica $\sigma$, i sigui $Y = a \cdot X + b$ una nova variable obtinguda aplicant a $X$ una transformació lineal.

1. a) Demostra, a partir de la definició de mitjana, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Demostra que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Per què la constant $b$ no afecta la dispersió?
3. c) Aplicació: en un examen, les notes tenen una mitjana de $6,2$ i una desviació típica de $1,4$. El professor decideix transformar cada nota $X$ en $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcula la nova mitjana i la nova desviació típica.

El temps (en minuts) que triga a arrencar un servidor després d'una reinicialització és una variable aleatòria contínua $X$ amb funció de densitat $f(x) = k \cdot x$ per a $x \in [0, 4]$ i $f(x) = 0$ a la resta, representada a la figura.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabent que l'àrea total sota la funció de densitat ha de ser $1$.
2. b) Troba la probabilitat que el servidor trigui menys de $2$ minuts a arrencar.
3. c) Calcula la mediana de $X$ (el valor $m$ tal que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) i la mitjana $\mu$. Quina de les dues és més gran? A què creus que es deu?