Integral indefinida. Descomposició elemental i integrals immediates
Coneixes una funció $f$ i et donen la seva derivada, $f'$. Fins ara sempre anaves cap endavant: de $f$ a $f'$. Ara el problema s'inverteix: et donen $f'$ i has de recuperar $f$. És exactament la mateixa taula de derivades de 1r i 2n, però llegida en sentit contrari.
Derivar al revés: què és una primitiva
Pensa en un cotxe: si $s(t)$ és la posició i $v(t)=s'(t)$ la velocitat, conèixer $v(t)$ i voler recuperar $s(t)$ és exactament aquest problema. És l'operació oposada a derivar.
Determina si la funció $F(x) = x \cdot e^x$ és una primitiva de la funció $f(x) = (x+1)e^x$. Per justificar la teva resposta, recorda utilitzar la relació fonamental…
Determina si la funció $F(x) = x \cdot e^x$ és una primitiva de la funció $f(x) = (x+1)e^x$. Per justificar la teva resposta, recorda utilitzar la relació fonamental entre una funció i la seva primitiva mitjançant la derivació.
Infinites primitives: la constant $C$
Per triar una primitiva concreta d'entre totes, n'hi ha prou amb una dada addicional: el valor de $F$ en un punt.
Troba la primitiva de la funció $f(x) = 2x - 6$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(3, 4)$. Nota: Primer calcula la integral indefinida per obtenir la família de…
Troba la primitiva de la funció $f(x) = 2x - 6$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(3, 4)$.
Nota: Primer calcula la integral indefinida per obtenir la família de funcions amb la constant $C$, i després utilitza el punt $P$ per trobar el valor específic d'aquesta constant.
Un dron de vigilància es desplaça de manera que la seva velocitat en l'eix horitzontal (en m/s) ve donada per la funció $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabent que en…
Un dron de vigilància es desplaça de manera que la seva velocitat en l'eix horitzontal (en m/s) ve donada per la funció $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabent que en l'instant inicial $t=0$ el dron es troba en la posició $s=0$, determina l'expressió de la funció de posició $s(t)$.
La taula de derivades, llegida al revés
Cada regla de derivació de la taula de 1r i 2n dona, llegida de dreta a esquerra, una integral immediata. No hi ha res de nou per memoritzar: és la mateixa taula.
Calcula la família de funcions primitives de la funció següent, simplificant el resultat eliminant els exponents negatius i utilitzant radicals:…
Calcula la família de funcions primitives de la funció següent, simplificant el resultat eliminant els exponents negatius i utilitzant radicals:
$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$
Troba totes les primitives de la funció $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Troba totes les primitives de la funció $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Linealitat: sumes, restes i constants
Calcula la integral indefinida de la combinació següent de funcions trigonomètriques i constants, aplicant les propietats de linealitat (treure constants i separar…
Calcula la integral indefinida de la combinació següent de funcions trigonomètriques i constants, aplicant les propietats de linealitat (treure constants i separar sumes):
$$\int (4 \sin x - 5 \cos x + 3) \, dx$$En el disseny d'una lent per a una càmera de telèfon intel·ligent, es requereix conèixer la funció de curvatura. La derivada d'aquesta funció és…
En el disseny d'una lent per a una càmera de telèfon intel·ligent, es requereix conèixer la funció de curvatura. La derivada d'aquesta funció és $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén l'expressió de la funció $g(x)$ calculant la seva integral indefinida:
$$\int \left( \frac{7}{1+x^2} - 2^x \right) \, dx$$Troba la integral indefinida de la funció $g(x)$, realitzant els ajustos de constants necessaris per obtenir una estructura de tipus logarítmic:…
Troba la integral indefinida de la funció $g(x)$, realitzant els ajustos de constants necessaris per obtenir una estructura de tipus logarítmic:
$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$
Integració per parts: invertir la regla del producte
Derivant un producte, $(uv)'=u'v+uv'$. En integrar i aïllar s'obté:
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$Treballem en un interval on les funcions i derivades utilitzades permeten aquestes operacions. Tria $u$ perquè derivar-la simplifiqui l'expressió, i $dv$ perquè puguis trobar $v$. La nova integral ha de ser més senzilla; si no ho és, revisa l'elecció.
El grau del polinomi disminueix en cada aplicació: