Propietats de la integral definida
Quan coneixes el valor d'algunes integrals, moltes vegades pots deduir-ne unes altres sense calcular cap primitiva: n'hi ha prou d'aplicar unes poques propietats. Són les mateixes de sempre (linealitat, descompondre en trossos...) però ara aplicades a nombres concrets, no a funcions.
Linealitat: sumes i múltiples
La integral definida es comporta igual que la indefinida respecte a sumes i constants que multipliquen.
Dades dues funcions contínues $f(x)$ i $g(x)$ en l'interval $[1, 5]$, coneixem els valors següents de les seves integrals definides: $$\int_1^5 f(x) \, dx = 6 \quad…
Dades dues funcions contínues $f(x)$ i $g(x)$ en l'interval $[1, 5]$, coneixem els valors següents de les seves integrals definides:
$$\int_1^5 f(x) \, dx = 6 \quad \text{y} \quad \int_1^5 g(x) \, dx = -3$$Utilitza les propietats de linealitat de la integral per a calcular el valor de:
$$\int_1^5 [2f(x) + 4g(x)] \, dx$$Additivitat respecte a l'interval
Si parteixes $[a,b]$ en dos trossos amb un punt intermedi $c$, la integral de l'interval complet és la suma de les integrals dels trossos. Això és el que ja vas fer servir a l'apartat anterior per «trossejar» una regió amb canvi de signe.
Una empresa de logística monitoritza la velocitat d'un dels seus vehicles. La gràfica de la funció $f(x)$ representa el ritme de consum de combustible. Sabent que:…
Una empresa de logística monitoritza la velocitat d'un dels seus vehicles. La gràfica de la funció $f(x)$ representa el ritme de consum de combustible. Sabent que:
$$\int_0^4 f(x) \, dx = 12 \quad \text{y} \quad \int_4^7 f(x) \, dx = 5$$Calcula, aplicant la propietat d'aditivitat de l'interval, el valor de la integral $\int_0^7 f(x) \, dx$ i interpreta el seu significat si l'eix d'abscisses representa el temps en hores.
Dada una funció contínua $h(x)$, es coneixen les dades següents: $$\int_1^3 h(x) \, dx = 4 \quad \text{y} \quad \int_1^6 h(x) \, dx = 10$$ Calcula el valor de la…
Dada una funció contínua $h(x)$, es coneixen les dades següents:
$$\int_1^3 h(x) \, dx = 4 \quad \text{y} \quad \int_1^6 h(x) \, dx = 10$$Calcula el valor de la integral $\int_3^6 h(x) \, dx$ utilitzant la propietat de la suma d'intervals.
Interval invertit i el punt com a interval
Convé tenir ben clars de memòria dos casos especials perquè apareixen constantment en manipular límits d'integració.
Si es coneix que la integral d'una funció $f(x)$ en un interval invertit és $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentit convencional:…
Si es coneix que la integral d'una funció $f(x)$ en un interval invertit és $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentit convencional:
$$\int_3^8 f(x) \, dx$$Justifica quina propietat de la integral definida has utilitzat.
Determina, sense necessitat de calcular la primitiva ni d'avaluar la funció, el valor de la integral següent: $$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{e^x \cdot…
Determina, sense necessitat de calcular la primitiva ni d'avaluar la funció, el valor de la integral següent:
$$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{e^x \cdot \ln(x^2+1)}{\cos^2(x)+5} \, dx$$Indica el nom de la propietat en què et bases per a donar la teva resposta.
Simetria: funcions parelles i senars
En un interval simètric $[-a,a]$, saber si $f$ és parella o senar t'estalvia la meitat de la feina (o tota la feina, si és senar).
Sense realitzar el càlcul de la primitiva, raona basant-te en les propietats de simetria de les funcions per què el valor de la integral definida següent és exactament…
Sense realitzar el càlcul de la primitiva, raona basant-te en les propietats de simetria de les funcions per què el valor de la integral definida següent és exactament zero:
$$\int_{-10}^{10} (x^7 - \sin(x) + x^3) \, dx$$Se sap que una funció $f(x)$ és parella i que l'àrea tancada sota la seva corba entre l'eix d'ordenades ($x=0$) i la recta $x=3$ és de $4,5$ unitats quadrades. És a dir:…
Se sap que una funció $f(x)$ és parella i que l'àrea tancada sota la seva corba entre l'eix d'ordenades ($x=0$) i la recta $x=3$ és de $4,5$ unitats quadrades. És a dir:
$$\int_0^3 f(x) \, dx = 4,5$$Calcula el valor de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ justificant el resultat mitjançant la simetria de la funció.
Considera una funció $f(x)$ que és parella i una funció $g(x)$ que és senar en tot el conjunt dels nombres reals. Es coneixen les dades següents:…
Considera una funció $f(x)$ que és parella i una funció $g(x)$ que és senar en tot el conjunt dels nombres reals. Es coneixen les dades següents:
$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ i $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$
Troba, aplicant les propietats de simetria de la integral definida, el valor de:
$$\int_{-3}^{3} [3f(x) - g(x)] \, dx$$