Producte mixt

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ i $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcula el valor del producte mixt $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilitzant la definició basada en el determinant de les seves components.

Un estudiant d'enginyeria està dissenyant una peça mitjançant un programa de CAD. La base de la peça ve definida pels vectors $\vec{a} = (3, 0, 0)$ i $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mentre que el tercer vector que defineix la profunditat és $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcula el volum del paral·lelepíped que formen aquests tres vectors.

Es considera un hangar d'emmagatzematge amb forma de paral·lelepíped on tres de les seves arestes concurrents en un vèrtex són els vectors $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ i $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcula el volum total de l'hangar.
2. b) Si es divideix l'hangar mitjançant un pla inclinat que passi pels extrems dels tres vectors anteriors per crear un altell triangular (tetraedre amb l'origen), quina fracció del volum total de l'hangar ocuparia aquest altell?

Comprova de forma raonada si els vectors $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ i $\vec{c} = (4, 2, 1)$ són coplanaris. Per fer-ho, calcula el seu producte mixt i justifica la teva resposta basant-te en el resultat obtingut.

Comprova si els punts $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ i $S(5, -2, 7)$ són coplanaris utilitzant el producte mixt. En cas que no ho siguin, calcula el volum del tetraedre que té aquests quatre punts com a vèrtexs.

Donats tres vectors linealment independents $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tals que el seu producte mixt és $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcula raonadament, aplicant les propietats dels determinants, el valor del producte mixt dels vectors $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ i $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Donats els vectors $\vec{u} = (1, 0, 1)$ i $\vec{v} = (2, 1, -1)$, troba un tercer vector $\vec{w}$ de la forma $(0, 0, z)$ tal que el volum del paral·lelepíped definit per tots tres sigui exactament de 5 unitats cúbiques.

Un estudi d'arquitectura dissenya una claraboia amb forma de tetraedre els vèrtexs del qual són els punts $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ i $D(0, 0, z)$. Calcula el valor de la cota $z$ sabent que el volum de la claraboia és de $5$ unitats cúbiques i que el vèrtex $D$ es troba en el semieix negatiu de les $Z$.