Aplicació al càlcul de límits. Regla de l'Hôpital

Calcula el límit següent utilitzant la regla de l'Hôpital, comprovant primer que es verifica la indeterminació necessària:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 5x + 2}{x^2 - 4}$$

En l'estudi de la propagació d'un senyal electromagnètic, apareix l'expressió següent per calcular la intensitat en un punt crític. Troba el valor del límit quan el temps $t$ tendeix a $0$:

$$\lim_{t \to 0} \frac{e^{3t} - 1}{\sin(2t)}$$

Determina el valor del límit següent d'una funció logarítmica. Recorda derivar correctament el numerador i el denominador de manera independent:

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 + 2x - 3}$$

Calcula el límit de la funció racional següent a l'infinit. Tot i que podries resoldre'l per comparació de graus, utilitza la regla de l'Hôpital per demostrar el resultat:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 7}$$

En l'estudi de la propagació d'un senyal wifi en un entorn amb interferències, s'ha modelat la pèrdua d'intensitat mitjançant la funció següent de la distància $x$ (en metres):

$$f(x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{x - \sin(x)}$$

Calcula el límit d'aquesta funció quan la distància $x$ tendeix a $0$, és a dir, $\lim_{x \to 0} f(x)$, per determinar el comportament del senyal al punt d'emissió.

Es vol estudiar la convergència d'un algorisme d'intel·ligència artificial. La taxa d'error en funció del nombre d'iteracions $x$ es defineix com:

$$E(x) = \frac{\ln(x^4 + 1)}{x}$$

Demostra, utilitzant la regla de l'Hôpital, que quan el nombre d'iteracions tendeix a infinit ($x \to \infty$), la taxa d'error tendeix a $0$. Què ens diu això sobre l'eficiència de l'algorisme a llarg termini?

Un equip d'enginyers de so està analitzant la resposta d'un filtre d'àudio. El guany del filtre en funció de la freqüència $x$ ve donat per l'expressió:

$$G(x) = \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 2}{x^2}$$

Sabent que el límit del guany quan la freqüència tendeix a zero és igual a $-1$, és a dir, $\lim_{x \to 0} G(x) = -1$, calcula raonadament els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

En el disseny d'una nova muntanya russa, la curvatura d'un tram inicial ve determinada per l'existència del límit d'una funció de transició. Perquè el disseny sigui viable, es requereix que el límit següent sigui un nombre real finit:

$$\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \cos(x) + b \cdot e^x - 3 + x}{x^2}$$

Calcula raonadament els valors dels paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ perquè aquest límit existeixi i sigui finit. Un cop obtinguts, calcula el valor d'aquest límit.

Calcula el valor del límit següent transformant prèviament la indeterminació de tipus $\infty - \infty$ en un quocient per poder aplicar la regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)$$

Determina el valor del límit següent que presenta una indeterminació del tipus $1^\infty$. Per resoldre'l, utilitza les propietats dels logaritmes i la regla de l'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$$

En un laboratori de biotecnologia, el creixement d'una població de bacteris en un entorn controlat segueix una llei la taxa d'acumulació acumulada de la qual s'expressa mitjançant una integral. Es vol estudiar el comportament de la densitat poblacional en l'instant inicial mitjançant el càlcul del límit següent:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \ln(1 + t^2) \, dt}{x^3}$$

Utilitza la Regla de l'Hôpital i el Teorema Fonamental del Càlcul per determinar el valor d'aquest límit.