Distàncies a l'espai

En un entorn de desenvolupament d'un videojoc en 3D, dos objectes estan situats en els punts $A(2, -3, 1)$ i $B(6, 1, 1)$, on les unitats són en metres. Calcula la distància que separa tots dos objectes per programar una col·lisió si aquesta és menor de 5 metres.

Calcula les coordenades dels punts de l'eix d'abscisses (eix $OX$) la distància dels quals al punt $P(3, 2, 2)$ és exactament de $\sqrt{8}$ unitats. Explica per què obtens una única solució geomètricament.

Una antena emissora de telefonia es troba en el punt $P(1, 2, -3)$. Es sap que el senyal és interceptat de forma òptima per un panell reflector pla que té per equació $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distància mínima que ha de recórrer l'ona des de l'antena fins al panell.

Un sensor de profunditat làser es troba en el punt $S(5, -7, 4)$. El làser apunta directament cap a la paret lateral, representada pel pla coordenat $XZ$. A quina distància es troba el sensor d'aquesta paret?

Troba les coordenades dels punts de la recta $r \equiv x = y = z$ que es troben a una distància de $2\sqrt{3}$ unitats del pla $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

El ganxo d'una grua d'obra està suspès en la posició $Q(4, -3, 12)$. Els tècnics necessiten conèixer la distància del ganxo a l'eix de cotes (eix $OZ$). Calcula aquesta distància per verificar l'espai lliure de gir de la grua respecte de l'eix vertical de referència.

Considera el punt $A(1, 5, -2)$ i la recta $r$ definida per les seves equacions paramètriques:

Troba la distància del punt $A$ a la recta $r$ aplicant la fórmula del producte vectorial.

Un coet de sondeig segueix una trajectòria lineal definida per la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. El coet ha d'enviar un senyal a l'estació de seguiment situada en el punt $P(5, -1, 4)$. Calcula la distància mínima a la qual passarà el coet de l'estació de seguiment durant el seu vol.

S'estan dissenyant les estructures de suport d'un pavelló. Dues de les bigues principals es modelitzen mitjançant les rectes $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ i $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distància mínima que separa les dues bigues per comprovar si cal instal·lar un connector de seguretat entre elles.

Dos satèl·lits de comunicacions segueixen trajectòries lineals en l'espai (mesurades en centenars de quilòmetres) representades per les rectes $r$ i $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ i $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Es demana:

1. Determinar els valors del paràmetre $k$ perquè la distància mínima entre les dues trajectòries sigui exactament de $\sqrt{6}$ unitats (600 km).

2. Per a cada valor de $k$ obtingut en l'apartat anterior, calcula els punts de cada trajectòria on s'assoleix la dita distància mínima (punts de la perpendicular comuna).

En el disseny d'una sala d'exposicions, el sòl i el sostre s'han modelat com dos plans paral·lels d'equacions $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ i $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Troba l'altura de la sala.

S'ha instal·lat un raïl metàl·lic per a un robot industrial que segueix la trajectòria de la recta:

Si el sòl de la fàbrica és el pla $\pi: x - 2z + 5 = 0$, comprova primer que el raïl és paral·lel al sòl i calcula després la distància de seguretat a la qual es troba el raïl d'aquest.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la distància entre els plans paral·lels $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ i $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sigui de 3 unitats. Explica per què hi ha dos possibles valors per a $k$.