Conceptes: taxa de variació i derivada d'una funció en un punt
A 1r vas construir tota la maquinària: TVM, quocient incremental, límit, derivada. A 2n no tornes a definir res des de zero, però sí que necessites tenir-ho automàtic: la selectivitat barreja aquests conceptes amb paràmetres, funcions definides a trossos i contextos físics, i no hi ha temps per redescobrir la idea a l'examen.
Repàs: taxa de variació mitjana
Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en l'interval $[1, 4]$. Explica gràficament què representa el valor obtingut en relació amb…
Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en l'interval $[1, 4]$. Explica gràficament què representa el valor obtingut en relació amb la recta secant que passa pels punts $A$ i $B$ de la corba corresponents als extrems d'aquest interval (els tens marcats a la figura).
Un atleta de 2n de Batxillerat entrena per als 100 metres llisos. La distància recorreguda (en metres) en funció del temps (en segons) ve donada per l'expressió…
Un atleta de 2n de Batxillerat entrena per als 100 metres llisos. La distància recorreguda (en metres) en funció del temps (en segons) ve donada per l'expressió $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.
Calcula la velocitat mitjana de l'atleta entre els instants $t = 2$ s i $t = 6$ s. Amb quin concepte matemàtic coincideix aquest valor?
Repàs: derivada en un punt i derivades laterals
Donada la funció $f(x) = 3x^2 - 1$, utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el límit: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ per trobar el…
Donada la funció $f(x) = 3x^2 - 1$, utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el límit:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$per trobar el valor de la derivada en el punt d'abscissa $x = 2$.
Considera la funció racional $f(x) = \frac{2}{x}$. Demostra, aplicant la definició de derivada com un límit, que el valor de la taxa de variació instantània en $x = 1$…
Considera la funció racional $f(x) = \frac{2}{x}$.
Demostra, aplicant la definició de derivada com un límit, que el valor de la taxa de variació instantània en $x = 1$ és $f'(1) = -2$. Interpreta el signe del resultat obtingut.
Recta tangent i recta normal
Troba l'equació de la recta tangent i de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punt on la gràfica talla l'eix d'ordenades ($OY$).
Troba l'equació de la recta tangent i de la recta normal a la corba $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punt on la gràfica talla l'eix d'ordenades ($OY$).
Determina el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punt on $x = 3$, aplicant el límit de la taxa de variació instantània:…
Determina el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punt on $x = 3$, aplicant el límit de la taxa de variació instantània:
$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3}$$Continuïtat, derivabilitat i velocitat instantània
El nombre de seguidors d'un nou canal de YouTube evoluciona segons la funció $S(t) = t^2 + 10t + 100$, on $t$ és el temps en dies des de la seva creació. a) Calcula la…
El nombre de seguidors d'un nou canal de YouTube evoluciona segons la funció $S(t) = t^2 + 10t + 100$, on $t$ és el temps en dies des de la seva creació.
- a) Calcula la taxa de variació mitjana de seguidors entre el dia $t = 0$ i el dia $t = 10$.
- b) Quin és el creixement instantani de seguidors exactament el dia $t = 5$? (Calcula $S'(5)$ usant la definició).
La temperatura d'una placa metàl·lica (en graus Celsius) varia amb el temps $t$ (en minuts) seguint el model $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$. Calcula la taxa de variació…
La temperatura d'una placa metàl·lica (en graus Celsius) varia amb el temps $t$ (en minuts) seguint el model $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$.
Calcula la taxa de variació instantània de la temperatura en l'instant $t = 10$ minuts. Indica les unitats de mesura del resultat i explica si en aquest moment la placa s'està escalfant o refredant.